Trigonometría Ejemplos

$(1, 81)$ , $(7, 4)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 7 + 81 \cdot 4$

Paso 2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Multiplica $7$ por $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 7 + 81 \cdot 4$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $81$ por $4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 7 + 324$

Paso 2.2.2

Suma $7$ y $324$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 331$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + 81^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 81^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $81$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 6561}$

Paso 3.2.3

Suma $1$ y $6561$ .

$| a⃗ | = \sqrt{6562}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{7^{2} + 4^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{49 + 4^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{49 + 16}$

Paso 4.2.3

Suma $49$ y $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{331}{\sqrt{6562} \sqrt{65}})$

Paso 6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$θ = \arccos (\frac{331}{\sqrt{6562 \cdot 65}})$

Paso 6.1.2

Multiplica $6562$ por $65$ .

$θ = \arccos (\frac{331}{\sqrt{426530}})$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{331}{\sqrt{426530}}$ por $\frac{\sqrt{426530}}{\sqrt{426530}}$ .

$θ = \arccos (\frac{331}{\sqrt{426530}} \cdot \frac{\sqrt{426530}}{\sqrt{426530}})$

Paso 6.3

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{331}{\sqrt{426530}}$ por $\frac{\sqrt{426530}}{\sqrt{426530}}$ .

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{\sqrt{426530} \sqrt{426530}})$

Paso 6.3.2

Eleva $\sqrt{426530}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{{\sqrt{426530}}^{1} \sqrt{426530}})$

Paso 6.3.3

Eleva $\sqrt{426530}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{{\sqrt{426530}}^{1} {\sqrt{426530}}^{1}})$

Paso 6.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{{\sqrt{426530}}^{1 + 1}})$

Paso 6.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{{\sqrt{426530}}^{2}})$

Paso 6.3.6

Reescribe ${\sqrt{426530}}^{2}$ como $426530$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{426530}$ como $426530^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{{(426530^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{426530^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{426530^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{426530^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{426530^{1}})$

Paso 6.3.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{426530})$

Paso 6.4

Evalúa $\arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{426530})$ .

$θ = 59.54779933$