Trigonometría Ejemplos

$(- 1, - 2)$ , $(0, 3)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

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Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 0 - 2 \cdot 3$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 - 2 \cdot 3$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 - 6$

Paso 2.2.2

Resta $6$ de $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Paso 3.2.3

Suma $1$ y $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + 3^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 3^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9}$

Paso 4.2.3

Suma $0$ y $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9}$

Paso 4.2.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2}}$

Paso 4.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| b⃗ | = 3$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- 6}{\sqrt{5} \cdot 3})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $3$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 2}{\sqrt{5} \cdot 3})$

Paso 6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $3$ de $\sqrt{5} \cdot 3$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot \sqrt{5}})$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot \sqrt{5}})$

Paso 6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{5}})$

Paso 6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$θ = \arccos (- \frac{2}{\sqrt{5}})$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}))$

Paso 6.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Paso 6.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Paso 6.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Paso 6.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (- \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Paso 6.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Paso 6.4.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 6.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (- \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (- \frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}})$

Paso 6.4.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Paso 6.5

Evalúa $\arccos (- \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

$θ = 153.43494882$