Trigonometría Ejemplos

$(1, \frac{5}{3})$ , $(1, - 8)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

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Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $\frac{5}{3} \cdot - 8$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Combina $\frac{5}{3}$ y $- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5 \cdot - 8}{3}$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $5$ por $- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}$

Paso 2.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}$

Paso 2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

Paso 2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3 - 40}{3}$

Paso 2.2.4

Resta $40$ de $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{- 37}{3}$

Paso 2.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Paso 3.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{3}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{5^{2}}{3^{2}}}$

Paso 3.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{3^{2}}}$

Paso 3.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{9}}$

Paso 3.2.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{25}{9}}$

Paso 3.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9 + 25}{9}}$

Paso 3.2.7

Suma $9$ y $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{34}{9}}$

Paso 3.2.8

Reescribe $\sqrt{\frac{34}{9}}$ como $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$

Paso 3.2.9

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.9.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 3.2.9.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 64}$

Paso 4.2.3

Suma $1$ y $64$ .

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- \frac{37}{3}}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Paso 6.2

Combina $\frac{\sqrt{34}}{3}$ y $\sqrt{65}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34} \sqrt{65}}{3}})$

Paso 6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34 \cdot 65}}{3}})$

Paso 6.3.2

Multiplica $34$ por $65$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}})$

Paso 6.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} (1 \frac{3}{\sqrt{2210}}))$

Paso 6.5

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{2210}}$ por $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Paso 6.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{37}{3}$ al numerador.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Paso 6.6.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Paso 6.6.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (- 37 \frac{1}{\sqrt{2210}})$

Paso 6.7

Combina $- 37$ y $\frac{1}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 37}{\sqrt{2210}})$

Paso 6.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$θ = \arccos (- \frac{37}{\sqrt{2210}})$

Paso 6.9

Multiplica $\frac{37}{\sqrt{2210}}$ por $\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{37}{\sqrt{2210}} \cdot \frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}))$

Paso 6.10

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.10.1

Multiplica $\frac{37}{\sqrt{2210}}$ por $\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{\sqrt{2210} \sqrt{2210}})$

Paso 6.10.2

Eleva $\sqrt{2210}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} \sqrt{2210}})$

Paso 6.10.3

Eleva $\sqrt{2210}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} {\sqrt{2210}}^{1}})$

Paso 6.10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1 + 1}})$

Paso 6.10.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{2}})$

Paso 6.10.6

Reescribe ${\sqrt{2210}}^{2}$ como $2210$ .

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Paso 6.10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2210}$ como $2210^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{(2210^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.10.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.10.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.10.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.10.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.10.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{1}})$

Paso 6.10.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$

Paso 6.11

Evalúa $\arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$ .

$θ = 141.91122711$