Trigonometría Ejemplos

$(0, 9)$ , $(5, 80)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

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Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 \cdot 5 + 9 \cdot 80$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $0$ por $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 9 \cdot 80$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $9$ por $80$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 720$

Paso 2.2.2

Suma $0$ y $720$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 720$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{0^{2} + 9^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 9^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 81}$

Paso 3.2.3

Suma $0$ y $81$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81}$

Paso 3.2.4

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2}}$

Paso 3.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| a⃗ | = 9$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} + 80^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 80^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $80$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 6400}$

Paso 4.2.3

Suma $25$ y $6400$ .

$| b⃗ | = \sqrt{6425}$

Paso 4.2.4

Reescribe $6425$ como $5^{2} \cdot 257$ .

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Paso 4.2.4.1

Factoriza $25$ de $6425$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 (257)}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 257}$

Paso 4.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| b⃗ | = 5 \sqrt{257}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{720}{9 (5 \sqrt{257})})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $720$ y $9$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $9$ de $720$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \cdot 80}{9 (5 \sqrt{257})})$

Paso 6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{9 \cdot 80}{9 (5 \sqrt{257})})$

Paso 6.1.2.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{80}{5 \sqrt{257}})$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $80$ y $5$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $5$ de $80$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 16}{5 \sqrt{257}})$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $5$ de $5 \sqrt{257}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 16}{5 (\sqrt{257})})$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 16}{5 \sqrt{257}})$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{16}{\sqrt{257}})$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{16}{\sqrt{257}}$ por $\frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}}$ .

$θ = \arccos (\frac{16}{\sqrt{257}} \cdot \frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}})$

Paso 6.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{16}{\sqrt{257}}$ por $\frac{\sqrt{257}}{\sqrt{257}}$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{\sqrt{257} \sqrt{257}})$

Paso 6.4.2

Eleva $\sqrt{257}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1} \sqrt{257}})$

Paso 6.4.3

Eleva $\sqrt{257}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1} {\sqrt{257}}^{1}})$

Paso 6.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{1 + 1}})$

Paso 6.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{{\sqrt{257}}^{2}})$

Paso 6.4.6

Reescribe ${\sqrt{257}}^{2}$ como $257$ .

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Paso 6.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{257}$ como $257^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{{(257^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257^{1}})$

Paso 6.4.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257})$

Paso 6.5

Evalúa $\arccos (\frac{16 \sqrt{257}}{257})$ .

$θ = 3.57633437$