Trigonometría Ejemplos

$h = 4.9 t^{2} + 29.4 t - 36.1$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $4.9 x^{2} + 29.4 x - 36.1$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4.9$

$b = 29.4$

$c = - 36.1$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{29.4}{2 \cdot 4.9}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Multiplica $2$ por $4.9$ .

$d = \frac{29.4}{9.8}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Divide $29.4$ por $9.8$ .

$d = 3$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 36.1 - \frac{{29.4}^{2}}{4 \cdot 4.9}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $29.4$ a la potencia de $2$ .

$e = - 36.1 - \frac{864.36}{4 \cdot 4.9}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $4.9$ .

$e = - 36.1 - \frac{864.36}{19.6}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Divide $864.36$ por $19.6$ .

$e = - 36.1 - 1 \cdot 44.1$

Paso 1.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $44.1$ .

$e = - 36.1 - 44.1$

Paso 1.1.1.4.2.2

Resta $44.1$ de $- 36.1$ .

$e = - 80.2$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4.9 {(x + 3)}^{2} - 80.2$ .

$4.9 {(x + 3)}^{2} - 80.2$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = 4.9 {(x + 3)}^{2} - 80.2$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 4.9$

$h = - 3$

$k = - 80.2$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 3, - 80.2)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 4.9}$

Paso 1.5.3

Simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $4$ por $4.9$ .

$\frac{1}{19.6}$

Paso 1.5.3.2

Divide $1$ por $19.6$ .

$0.0510204$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 3, - 80.14897959)$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 3$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - 80.2510204$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 3, - 80.2)$

Foco: $(- 3, - 80.14897959)$

Eje de simetría: $x = - 3$

Directriz: $y = - 80.2510204$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 3, - 80.2)$

Foco: $(- 3, - 80.14897959)$

Eje de simetría: $x = - 3$

Directriz: $y = - 80.2510204$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = 4.9 {(- 4)}^{2} + 29.4 (- 4) - 36.1$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f (- 4) = 4.9 \cdot 16 + 29.4 (- 4) - 36.1$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $4.9$ por $16$ .

$f (- 4) = 78.4 + 29.4 (- 4) - 36.1$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $29.4$ por $- 4$ .

$f (- 4) = 78.4 - 117.6 - 36.1$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.2.2.1

Resta $117.6$ de $78.4$ .

$f (- 4) = - 39.2 - 36.1$

Paso 2.2.2.2

Resta $36.1$ de $- 39.2$ .

$f (- 4) = - 75.3$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $- 75.3$ .

$- 75.3$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 4$ es $- 75.3$ .

$y = - 75.3$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = 4.9 {(- 5)}^{2} + 29.4 (- 5) - 36.1$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f (- 5) = 4.9 \cdot 25 + 29.4 (- 5) - 36.1$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $4.9$ por $25$ .

$f (- 5) = 122.5 + 29.4 (- 5) - 36.1$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $29.4$ por $- 5$ .

$f (- 5) = 122.5 - 147 - 36.1$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.5.2.1

Resta $147$ de $122.5$ .

$f (- 5) = - 24.5 - 36.1$

Paso 2.5.2.2

Resta $36.1$ de $- 24.5$ .

$f (- 5) = - 60.6$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $- 60.6$ .

$- 60.6$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 5$ es $- 60.6$ .

$y = - 60.6$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = 4.9 {(- 2)}^{2} + 29.4 (- 2) - 36.1$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = 4.9 \cdot 4 + 29.4 (- 2) - 36.1$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $4.9$ por $4$ .

$f (- 2) = 19.6 + 29.4 (- 2) - 36.1$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $29.4$ por $- 2$ .

$f (- 2) = 19.6 - 58.8 - 36.1$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.8.2.1

Resta $58.8$ de $19.6$ .

$f (- 2) = - 39.2 - 36.1$

Paso 2.8.2.2

Resta $36.1$ de $- 39.2$ .

$f (- 2) = - 75.3$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $- 75.3$ .

$- 75.3$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $- 75.3$ .

$y = - 75.3$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 4.9 {(- 1)}^{2} + 29.4 (- 1) - 36.1$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 4.9 \cdot 1 + 29.4 (- 1) - 36.1$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $4.9$ por $1$ .

$f (- 1) = 4.9 + 29.4 (- 1) - 36.1$

Paso 2.11.1.3

Multiplica $29.4$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 4.9 - 29.4 - 36.1$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.11.2.1

Resta $29.4$ de $4.9$ .

$f (- 1) = - 24.5 - 36.1$

Paso 2.11.2.2

Resta $36.1$ de $- 24.5$ .

$f (- 1) = - 60.6$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $- 60.6$ .

$- 60.6$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $- 60.6$ .

$y = - 60.6$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 60.6 \\ - 4 & - 75.3 \\ - 3 & - 80.2 \\ - 2 & - 75.3 \\ - 1 & - 60.6 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 3, - 80.2)$

Foco: $(- 3, - 80.14897959)$

Eje de simetría: $x = - 3$

Directriz: $y = - 80.2510204$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 60.6 \\ - 4 & - 75.3 \\ - 3 & - 80.2 \\ - 2 & - 75.3 \\ - 1 & - 60.6 \end{array}$

Paso 4