Trigonometría Ejemplos

$h = - 16 t^{2} + 28 t + 6$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $- 16 x^{2} + 28 x + 6$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 16$

$b = 28$

$c = 6$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{28}{2 \cdot - 16}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $28$ y $2$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $28$ .

$d = \frac{2 \cdot 14}{2 \cdot - 16}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 14}{2 (- 16)}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 14}{2 \cdot - 16}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{14}{- 16}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $14$ y $- 16$ .

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Paso 1.1.1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$d = \frac{2 (7)}{- 16}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 8}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 8}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{7}{- 8}$

Paso 1.1.1.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{7}{8}$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 6 - \frac{28^{2}}{4 \cdot - 16}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $28$ a la potencia de $2$ .

$e = 6 - \frac{784}{4 \cdot - 16}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 16$ .

$e = 6 - \frac{784}{- 64}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Cancela el factor común de $784$ y $- 64$ .

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Paso 1.1.1.4.2.1.3.1

Factoriza $16$ de $784$ .

$e = 6 - \frac{16 (49)}{- 64}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.4.2.1.3.2.1

Factoriza $16$ de $- 64$ .

$e = 6 - \frac{16 \cdot 49}{16 \cdot - 4}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = 6 - \frac{16 \cdot 49}{16 \cdot - 4}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 6 - \frac{49}{- 4}$

Paso 1.1.1.4.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = 6 - - \frac{49}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.1.5

Multiplica $- - \frac{49}{4}$ .

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Paso 1.1.1.4.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 6 + 1 (\frac{49}{4})$

Paso 1.1.1.4.2.1.5.2

Multiplica $\frac{49}{4}$ por $1$ .

$e = 6 + \frac{49}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$e = 6 \cdot \frac{4}{4} + \frac{49}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.3

Combina $6$ y $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{49}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{6 \cdot 4 + 49}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.4.2.5.1

Multiplica $6$ por $4$ .

$e = \frac{24 + 49}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.5.2

Suma $24$ y $49$ .

$e = \frac{73}{4}$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 16 {(x - \frac{7}{8})}^{2} + \frac{73}{4}$ .

$- 16 {(x - \frac{7}{8})}^{2} + \frac{73}{4}$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - 16 {(x - \frac{7}{8})}^{2} + \frac{73}{4}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 16$

$h = \frac{7}{8}$

$k = \frac{73}{4}$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(\frac{7}{8}, \frac{73}{4})$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 16}$

Paso 1.5.3

Simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $4$ por $- 16$ .

$\frac{1}{- 64}$

Paso 1.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{64}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{7}{8}, \frac{1167}{64})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = \frac{7}{8}$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{1169}{64}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(\frac{7}{8}, \frac{73}{4})$

Foco: $(\frac{7}{8}, \frac{1167}{64})$

Eje de simetría: $x = \frac{7}{8}$

Directriz: $y = \frac{1169}{64}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(\frac{7}{8}, \frac{73}{4})$

Foco: $(\frac{7}{8}, \frac{1167}{64})$

Eje de simetría: $x = \frac{7}{8}$

Directriz: $y = \frac{1169}{64}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - 16 {(0)}^{2} + 28 (0) + 6$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = - 16 \cdot 0 + 28 (0) + 6$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 16$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 28 (0) + 6$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $28$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 6$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 6$

Paso 2.2.2.2

Suma $0$ y $6$ .

$f (0) = 6$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $6$ .

$6$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = 0$ es $6$ .

$y = 6$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - 16 {(2)}^{2} + 28 (2) + 6$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = - 16 \cdot 4 + 28 (2) + 6$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 16$ por $4$ .

$f (2) = - 64 + 28 (2) + 6$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $28$ por $2$ .

$f (2) = - 64 + 56 + 6$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.5.2.1

Suma $- 64$ y $56$ .

$f (2) = - 8 + 6$

Paso 2.5.2.2

Suma $- 8$ y $6$ .

$f (2) = - 2$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = 2$ es $- 2$ .

$y = - 2$

Paso 2.7

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 6 \\ \frac{7}{8} & \frac{73}{4} \\ 2 & - 2 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(\frac{7}{8}, \frac{73}{4})$

Foco: $(\frac{7}{8}, \frac{1167}{64})$

Eje de simetría: $x = \frac{7}{8}$

Directriz: $y = \frac{1169}{64}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 6 \\ \frac{7}{8} & \frac{73}{4} \\ 2 & - 2 \end{array}$

Paso 4