Trigonometría Ejemplos

$f (x) = 7 \sec (\frac{1}{3} x) + 5$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Para cualquier $y = \sec (x)$ , las asíntotas verticales se producen en $x = \frac{π}{2} + n π$ , donde $n$ es un número entero. Usa el período básico de $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , a fin de obtener las asíntotas verticales de $y = 7 \sec (\frac{x}{3}) + 5$ . Establece el interior de la función secante, $b x + c$ , para que $y = a \sec (b x + c) + d$ sea igual a $- \frac{π}{2}$ a fin de obtener dónde se produce la asíntota vertical de $y = 7 \sec (\frac{x}{3}) + 5$ .

$\frac{x}{3} = - \frac{π}{2}$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (- \frac{π}{2})$

Paso 1.2.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{x}{3} = 3 (- \frac{π}{2})$

Paso 1.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 3 (- \frac{π}{2})$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.2.1

Simplifica $3 (- \frac{π}{2})$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Multiplica $3 (- \frac{π}{2})$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x = - 3 \frac{π}{2}$

Paso 1.2.2.2.1.1.2

Combina $- 3$ y $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{- 3 π}{2}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 π}{2}$

Paso 1.3

Establece el interior de la secante $\frac{x}{3}$ igual a $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{3 π}{2}$

Paso 1.4

Resuelve $x$

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Paso 1.4.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{3 π}{2}$

Paso 1.4.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.4.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{3 π}{2}$

Paso 1.4.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 3 \frac{3 π}{2}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.2.1

Multiplica $3 \frac{3 π}{2}$ .

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Paso 1.4.2.2.1.1

Combina $3$ y $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{3 (3 π)}{2}$

Paso 1.4.2.2.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$x = \frac{9 π}{2}$

Paso 1.5

El período básico de $y = 7 \sec (\frac{x}{3}) + 5$ se producirá en $(- \frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2})$ , donde $- \frac{3 π}{2}$ y $\frac{9 π}{2}$ son asíntotas verticales.

$(- \frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2})$

Paso 1.6

Obtén el período $\frac{2 π}{| b |}$ para buscar dónde existen las asíntotas verticales. Las asíntotas verticales ocurren cada medio período.

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Paso 1.6.1

$\frac{1}{3}$ es aproximadamente $0.\overline{3}$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Paso 1.6.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 3$

Paso 1.6.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 π$

Paso 1.7

Las asíntotas verticales de $y = 7 \sec (\frac{x}{3}) + 5$ se producen en $- \frac{3 π}{2}$ , $\frac{9 π}{2}$ y en cada $x = 3 π n$ , donde $n$ es un número entero. Esta es la mitad del período.

$x = 3 π n$

Paso 1.8

La secante solo tiene asíntotas verticales.

No hay asíntotas horizontales

No hay asíntotas oblicuas

Asíntotas verticales: $x = 3 π n$ donde $n$ es un número entero

No hay asíntotas horizontales

No hay asíntotas oblicuas

Asíntotas verticales: $x = 3 π n$ donde $n$ es un número entero

Paso 2

Usa la forma $a \sec (b x - c) + d$ para obtener las variables utilizadas para obtener la amplitud, el período, el desfase y el desplazamiento vertical.

$a = 7$

$b = \frac{1}{3}$

$c = 0$

$d = 5$

Paso 3

Como la gráfica de la función $s e c$ no tiene un valor máximo o mínimo, no puede haber un valor para la amplitud.

Amplitud: ninguna

Paso 4

Obtén el período con la fórmula $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Paso 4.1

Obtén el período de $7 \sec (\frac{x}{3})$ .

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Paso 4.1.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.1.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{3}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Paso 4.1.3

$\frac{1}{3}$ es aproximadamente $0.\overline{3}$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Paso 4.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 3$

Paso 4.1.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 π$

Paso 4.2

Obtén el período de $5$ .

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Paso 4.2.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{3}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Paso 4.2.3

$\frac{1}{3}$ es aproximadamente $0.\overline{3}$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Paso 4.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 3$

Paso 4.2.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 π$

Paso 4.3

El período de la suma/resta de las funciones trigonométricas es el máximo de los períodos individuales.

$6 π$

Paso 5

Obtén el desfase con la fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Paso 5.1

El desfase de la función puede calcularse a partir de $\frac{c}{b}$ .

Desfase: $\frac{c}{b}$

Paso 5.2

Reemplaza los valores de $c$ y $b$ en la ecuación para el desfase.

Desfase: $\frac{0}{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

Desfase: $0 \cdot 3$

Paso 5.4

Multiplica $0$ por $3$ .

Desfase: $0$

Paso 6

Enumera las propiedades de la función trigonométrica.

Amplitud: ninguna

Período: $6 π$

Desfase: ninguno

Desplazamiento vertical: $5$

Paso 7

La función trigonométrica puede representarse de forma gráfica con la amplitud, el período, el desfase, el desplazamiento vertical y los puntos.

Asíntotas verticales: $x = 3 π n$ donde $n$ es un número entero

Amplitud: ninguna

Período: $6 π$

Desfase: ninguno

Desplazamiento vertical: $5$

Paso 8