Trigonometría Ejemplos

$f (x) = 6 | \cot (\frac{π}{12} x) |$

Step 1

Obtén el vértice del valor absoluto. En este caso, el vértice de $y = 6 | \cot (\frac{π x}{12}) |$ es $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

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Para obtener la coordenada de $x$ del vértice, establece el interior del valor absoluto $\cot (\frac{π x}{12})$ igual a $0$ . En este caso, $\cot (\frac{π x}{12}) = 0$ .

$\cot (\frac{π x}{12}) = 0$

Resuelve la ecuación $\cot (\frac{π x}{12}) = 0$ para obtener la coordenada $x$ para el vértice del valor absoluto.

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Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$\frac{π x}{12} = arccot (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccot (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2}$

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

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Cancela el factor común de $12$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Cancela el factor común de $π$ .

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Factoriza $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $\frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Cancela el factor común de $2$ .

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Factoriza $2$ de $12$ .

$x = \frac{2 (6)}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 6}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{6}{π} π$

Cancela el factor común de $π$ .

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Cancela el factor común.

$x = \frac{6}{π} π$

Reescribe la expresión.

$x = 6$

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{π x}{12} = π + \frac{π}{2}$

Resuelve $x$

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Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

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Cancela el factor común de $12$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Cancela el factor común de $π$ .

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Factoriza $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $\frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{12}{π} (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Simplifica los términos.

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Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{12}{π} (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Factoriza $2$ de $12$ .

$x = \frac{2 (6)}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 6}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 2 + π)$

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6}{π} (2 π + π)$

Simplifica los términos.

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Suma $2 π$ y $π$ .

$x = \frac{6}{π} (3 π)$

Cancela el factor común de $π$ .

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Factoriza $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 3)$

Cancela el factor común.

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 3)$

Reescribe la expresión.

$x = 6 \cdot 3$

Multiplica $6$ por $3$ .

$x = 18$

Obtén el período de $\cot (\frac{π x}{12})$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $\frac{π}{12}$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| \frac{π}{12} |}$

$\frac{π}{12}$ es aproximadamente $0.26179938$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{π}{\frac{π}{12}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$π \frac{12}{π}$

Cancela el factor común de $π$ .

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Cancela el factor común.

$π \frac{12}{π}$

Reescribe la expresión.

$12$

El período de la función $\cot (\frac{π x}{12})$ es $12$ , por lo que los valores se repetirán cada $12$ radianes en ambas direcciones.

$x = 6 + 12 n, 18 + 12 n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida las respuestas.

$x = 6 + 12 n$ , para cualquier número entero $n$

Reemplaza la variable $x$ con $6 + 12 n$ en la expresión.

$y = 6 | \cot (\frac{π (6 + 12 n)}{12}) |$

Cancela el factor común de $6 + 12 n$ y $12$ .

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Factoriza $6$ de $π (6 + 12 n)$ .

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{12}) |$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $6$ de $12$ .

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{6 (2)}) |$

Cancela el factor común.

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{6 \cdot 2}) |$

Reescribe la expresión.

$y = 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |$

El vértice del valor absoluto es $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

$(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$

Step 2

Obtén el dominio para $f (x) = 6 | \cot (\frac{π x}{12}) |$ de modo que se pueda elegir una lista de valores de $x$ para obtener una lista de puntos, lo que ayudará a graficar la función de valor absoluto.

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Establece el argumento en $\cot (\frac{π x}{12})$ igual que $π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\frac{π x}{12} = π n$ , para cualquier número entero $n$

Resuelve $x$

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Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π n)$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

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Cancela el factor común de $12$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π n)$

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π n)$

Cancela el factor común de $π$ .

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Factoriza $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} (π n)$

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π n)$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{12}{π} (π n)$

Simplifica el lado derecho.

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Cancela el factor común de $π$ .

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Factoriza $π$ de $π n$ .

$x = \frac{12}{π} (π (n))$

Cancela el factor común.

$x = \frac{12}{π} (π n)$

Reescribe la expresión.

$x = 12 n$

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 12 n}$ , para cualquier número entero $n$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 12 n}$ , para cualquier número entero $n$

Step 3

El valor absoluto puede representarse gráficamente mediante los puntos alrededor del vértice $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |),$

$\begin{array}{c} x & y \\ 6 + 12 n & 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) | \end{array}$

Step 4