Trigonometría Ejemplos

$f (x) = x^{3} - \frac{14}{x^{2}} - \frac{5}{3}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $x^{3} - \frac{14}{x^{2}} - \frac{5}{3}$ no está definida.

$x = 0$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 5$

$m = 2$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Combinar.

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Paso 5.1.1

Para escribir $x^{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} x^{2}}{x^{2}} - \frac{14}{x^{2}} - \frac{5}{3}$

Paso 5.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{3} x^{2} - 14}{x^{2}} - \frac{5}{3}$

Paso 5.1.3

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{3 + 2} - 14}{x^{2}} - \frac{5}{3}$

Paso 5.1.3.2

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{x^{5} - 14}{x^{2}} - \frac{5}{3}$

Paso 5.1.4

Para escribir $\frac{x^{5} - 14}{x^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{5} - 14}{x^{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{3}$

Paso 5.1.5

Para escribir $- \frac{5}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{5} - 14}{x^{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Paso 5.1.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $3 x^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.1.6.1

Multiplica $\frac{x^{5} - 14}{x^{2}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x^{5} - 14) \cdot 3}{x^{2} \cdot 3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Paso 5.1.6.2

Multiplica $\frac{5}{3}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(x^{5} - 14) \cdot 3}{x^{2} \cdot 3} - \frac{5 x^{2}}{3 x^{2}}$

Paso 5.1.6.3

Reordena los factores de $x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{(x^{5} - 14) \cdot 3}{3 x^{2}} - \frac{5 x^{2}}{3 x^{2}}$

Paso 5.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x^{5} - 14) \cdot 3 - 5 x^{2}}{3 x^{2}}$

Paso 5.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{5} \cdot 3 - 14 \cdot 3 - 5 x^{2}}{3 x^{2}}$

Paso 5.1.8.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$\frac{3 \cdot x^{5} - 14 \cdot 3 - 5 x^{2}}{3 x^{2}}$

Paso 5.1.8.3

Multiplica $- 14$ por $3$ .

$\frac{3 \cdot x^{5} - 42 - 5 x^{2}}{3 x^{2}}$

Paso 5.1.8.4

Reordena los términos.

$\frac{3 x^{5} - 5 x^{2} - 42}{3 x^{2}}$

Paso 5.1.9

Simplifica.

$\frac{3 x^{5} - 5 x^{2} - 42}{3 x^{2}}$

Paso 5.2

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$42$

Paso 5.3

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{5}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x^{2}$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$42$

Paso 5.4

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$42$

$3 x^{5}$

$0$

Paso 5.5

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{5} + 0 + 0$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$42$

$3 x^{5}$

$0$

Paso 5.6

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$x^{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$
										$0$

Paso 5.7

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

						$x^{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$
										$0$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$

Paso 5.8

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 5 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x^{2}$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$\frac{5}{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$42$

$3 x^{5}$

$0$

$5 x^{2}$

$0 x$

$42$

Paso 5.9

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$\frac{5}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$
										$0$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
											-	$5 x^{2}$	+	$0$	+	$0$

Paso 5.10

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 5 x^{2} + 0 + 0$ .

						$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$\frac{5}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$
										$0$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
											+	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$0$

Paso 5.11

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$\frac{5}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$3 x^{5}$	+	$0 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
					-	$3 x^{5}$	-	$0$	-	$0$
										$0$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$42$
											+	$5 x^{2}$	-	$0$	-	$0$
															-	$42$

Paso 5.12

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x^{3} - \frac{5}{3} - \frac{42}{3 x^{2}}$

Paso 5.13

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x^{3} - \frac{5}{3}$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x^{3} - \frac{5}{3}$

Paso 7