Trigonometría Ejemplos

f (x) = x^{2} + c

$f (x) = x^{2} + c$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 1.1

Resta

x^{2}

$x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

y - x^{2} = c

$y - x^{2} = c$

Paso 1.2

Resta

c

$c$ de ambos lados de la ecuación.

y - x^{2} - c = 0

$y - x^{2} - c = 0$

Paso 1.3

Mueve

y

$y$ .

- x^{2} - c + y = 0

$- x^{2} - c + y = 0$

- x^{2} - c + y = 0

$- x^{2} - c + y = 0$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable

h

$h$ representa el desplazamiento de x desde el origen,

k

$k$ representa el desplazamiento de y desde el origen,

a

$a$ .

a = 1

$a = 1$

b = 1

$b = 1$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de

(h, k)

$(h, k)$ . Sustituye los valores de

h

$h$ y

k

$k$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén

c

$c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula.

\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

\sqrt{1 + {(1)}^{2}}

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

\sqrt{1 + 1}

$\sqrt{1 + 1}$

Paso 5.3.3

Suma

1

$1$ y

1

$1$ .

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar

a

$a$ a

k

$k$ .

(h, k + a)

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de

h

$h$ ,

a

$a$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

(0, 1)

$(0, 1)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de

a

$a$ de

k

$k$ .

(h, k - a)

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de

h

$h$ ,

a

$a$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

(0, - 1)

$(0, - 1)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de

(h, k \pm a)

$(h, k \pm a)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

(0, 1), (0, - 1)

$(0, 1), (0, - 1)$

(0, 1), (0, - 1)

$(0, 1), (0, - 1)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar

c

$c$ a

k

$k$ .

(h, k + c)

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de

h

$h$ ,

c

$c$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

(0, \sqrt{2})

$(0, \sqrt{2})$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de

c

$c$ de

k

$k$ .

(h, k - c)

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de

h

$h$ ,

c

$c$ y

k

$k$ en la fórmula y simplifica.

(0, - \sqrt{2})

$(0, - \sqrt{2})$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de

(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})

$(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

(0, \sqrt{2}), (0, - \sqrt{2})

$(0, \sqrt{2}), (0, - \sqrt{2})$

Paso 8

Obtén el parámetro focal.

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Paso 8.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de

$b$ y

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.2

Multiplica

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ por

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.3.1

Multiplica

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ por

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 8.3.3.2

Eleva

$\sqrt{2}$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 8.3.3.3

Eleva

$\sqrt{2}$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 8.3.3.4

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.3.5

Suma

$1$ y

$1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 8.3.3.6

Reescribe

${\sqrt{2}}^{2}$ como

$2$ .

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Paso 8.3.3.6.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{2}$ como

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.3.6.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.3.6.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 8.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 8.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 9

Las asíntotas siguen la forma

$y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Paso 10

Simplifica

$1 \cdot x + 0$ .

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Paso 10.1

Suma

$1 \cdot x$ y

$0$ .

$y = 1 \cdot x$

Paso 10.2

Multiplica

$x$ por

$1$ .

$y = x$

Paso 11

Simplifica

$- 1 \cdot x + 0$ .

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Paso 11.1

Suma

$- 1 \cdot x$ y

$0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Paso 11.2

Reescribe

$- 1 x$ como

$- x$ .

$y = - x$

Paso 12

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = x, y = - x$

Paso 13

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro:

$(0, 0)$

Vértices:

$(0, 1), (0, - 1)$

Focos:

$(0, \sqrt{2}), (0, - \sqrt{2})$

Excentricidad:

$(0, \sqrt{2}), (0, - \sqrt{2})$

Parámetro focal:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Asíntotas:

$y = x$ ,

$y = - x$

Paso 14