Trigonometría Ejemplos

$f (x) = \sqrt{\frac{2 - 81 x}{3 x + 8}}$

Paso 1

Obtén el dominio para $y = \sqrt{\frac{2 - 81 x}{3 x + 8}}$ de modo que se pueda elegir una lista de valores de $x$ para obtener una lista de puntos, lo que ayudará a graficar el radical.

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Paso 1.1

Establece el radicando en $\sqrt{(2 - 81 x) (3 x + 8)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(2 - 81 x) (3 x + 8) \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 - 81 x = 0$

$3 x + 8 = 0$

Paso 1.2.2

Establece $2 - 81 x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.2.1

Establece $2 - 81 x$ igual a $0$ .

$2 - 81 x = 0$

Paso 1.2.2.2

Resuelve $2 - 81 x = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 81 x = - 2$

Paso 1.2.2.2.2

Divide cada término en $- 81 x = - 2$ por $- 81$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.2.2.1

Divide cada término en $- 81 x = - 2$ por $- 81$ .

$\frac{- 81 x}{- 81} = \frac{- 2}{- 81}$

Paso 1.2.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 81$ .

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Paso 1.2.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 81 x}{- 81} = \frac{- 2}{- 81}$

Paso 1.2.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 81}$

Paso 1.2.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{2}{81}$

Paso 1.2.3

Establece $3 x + 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Establece $3 x + 8$ igual a $0$ .

$3 x + 8 = 0$

Paso 1.2.3.2

Resuelve $3 x + 8 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 8$

Paso 1.2.3.2.2

Divide cada término en $3 x = - 8$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 8$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Paso 1.2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{3}$

Paso 1.2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{8}{3}$

Paso 1.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 - 81 x) (3 x + 8) \geq 0$ verdadera.

$x = \frac{2}{81}, - \frac{8}{3}$

Paso 1.2.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{8}{3}$

$- \frac{8}{3} < x < \frac{2}{81}$

$x > \frac{2}{81}$

Paso 1.2.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.2.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{8}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{8}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 5$

Paso 1.2.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 5$ en la desigualdad original.

$(2 - 81 \cdot - 5) (3 (- 5) + 8) \geq 0$

Paso 1.2.6.1.3

$- 2849$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.2.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{8}{3} < x < \frac{2}{81}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{8}{3} < x < \frac{2}{81}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 1.2.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$(2 - 81 \cdot 0) (3 (0) + 8) \geq 0$

Paso 1.2.6.2.3

$16$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.2.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{2}{81}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{2}{81}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 1.2.6.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$(2 - 81 \cdot 3) (3 (3) + 8) \geq 0$

Paso 1.2.6.3.3

$- 4097$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.2.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{8}{3}$ Falso

$- \frac{8}{3} < x < \frac{2}{81}$ Verdadero

$x > \frac{2}{81}$ Falso

$x < - \frac{8}{3}$ Falso

$- \frac{8}{3} < x < \frac{2}{81}$ Verdadero

$x > \frac{2}{81}$ Falso

Paso 1.2.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{8}{3} \leq x \leq \frac{2}{81}$

Paso 1.3

Establece el denominador en $\frac{\sqrt{(2 - 81 x) (3 x + 8)}}{3 x + 8}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 x + 8 = 0$

Paso 1.4

Resuelve $x$

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Paso 1.4.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 8$

Paso 1.4.2

Divide cada término en $3 x = - 8$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.4.2.1

Divide cada término en $3 x = - 8$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Paso 1.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{3}$

Paso 1.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{8}{3}$

Paso 1.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \frac{8}{3}, \frac{2}{81}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - \frac{8}{3} < x \leq \frac{2}{81}}$

Notación de intervalo:

$(- \frac{8}{3}, \frac{2}{81}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - \frac{8}{3} < x \leq \frac{2}{81}}$

Paso 2

Para obtener los extremos, sustituye las cotas de los valores de $x$ del dominio en $f (x) = \frac{\sqrt{(2 - 81 x) (3 x + 8)}}{3 x + 8}$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{8}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{\sqrt{(2 - 81 (- \frac{8}{3})) (3 (- \frac{8}{3}) + 8)}}{3 (- \frac{8}{3}) + 8}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{8}{3}$ al numerador.

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{\sqrt{(2 - 81 (- \frac{8}{3})) (3 (- \frac{8}{3}) + 8)}}{3 (\frac{- 8}{3}) + 8}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{\sqrt{(2 - 81 (- \frac{8}{3})) (3 (- \frac{8}{3}) + 8)}}{3 (\frac{- 8}{3}) + 8}$

Paso 2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{\sqrt{(2 - 81 (- \frac{8}{3})) (3 (- \frac{8}{3}) + 8)}}{- 8 + 8}$

Paso 2.3

Suma $- 8$ y $8$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{\sqrt{(2 - 81 (- \frac{8}{3})) (3 (- \frac{8}{3}) + 8)}}{0}$

Paso 2.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

$f (- \frac{8}{3}) = Undefined$

Paso 2.5

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{2}{81}$ en la expresión.

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{(2 - 81 (\frac{2}{81})) (3 (\frac{2}{81}) + 8)}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Paso 2.6

Simplifica el resultado.

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Paso 2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.1

Cancela el factor común de $81$ .

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Paso 2.6.1.1.1

Factoriza $81$ de $- 81$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{(2 + 81 (- 1) (\frac{2}{81})) (3 (\frac{2}{81}) + 8)}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Paso 2.6.1.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{(2 + 81 \cdot (- 1 (\frac{2}{81}))) (3 (\frac{2}{81}) + 8)}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Paso 2.6.1.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{(2 - 1 \cdot 2) (3 (\frac{2}{81}) + 8)}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{(2 - 2) (3 (\frac{2}{81}) + 8)}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Paso 2.6.1.3

Resta $2$ de $2$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0 (3 (\frac{2}{81}) + 8)}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Paso 2.6.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.6.1.4.1

Factoriza $3$ de $81$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0 (3 (\frac{2}{3 (27)}) + 8)}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Paso 2.6.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0 (3 (\frac{2}{3 \cdot 27}) + 8)}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Paso 2.6.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0 (\frac{2}{27} + 8)}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Paso 2.6.1.5

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0 (\frac{2}{27} + 8 \cdot \frac{27}{27})}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Paso 2.6.1.6

Combina $8$ y $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0 (\frac{2}{27} + \frac{8 \cdot 27}{27})}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Paso 2.6.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0 (\frac{2 + 8 \cdot 27}{27})}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Paso 2.6.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.8.1

Multiplica $8$ por $27$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0 (\frac{2 + 216}{27})}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Paso 2.6.1.8.2

Suma $2$ y $216$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0 (\frac{218}{27})}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Paso 2.6.1.9

Multiplica $0$ por $\frac{218}{27}$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Paso 2.6.1.10

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0^{2}}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Paso 2.6.1.11

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{2}{81}) = \frac{0}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Paso 2.6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.6.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.6.2.1.1

Factoriza $3$ de $81$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{0}{3 (\frac{2}{3 (27)}) + 8}$

Paso 2.6.2.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2}{81}) = \frac{0}{3 (\frac{2}{3 \cdot 27}) + 8}$

Paso 2.6.2.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2}{81}) = \frac{0}{\frac{2}{27} + 8}$

Paso 2.6.2.2

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{0}{\frac{2}{27} + 8 \cdot \frac{27}{27}}$

Paso 2.6.2.3

Combina $8$ y $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{0}{\frac{2}{27} + \frac{8 \cdot 27}{27}}$

Paso 2.6.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{2}{81}) = \frac{0}{\frac{2 + 8 \cdot 27}{27}}$

Paso 2.6.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.2.5.1

Multiplica $8$ por $27$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{0}{\frac{2 + 216}{27}}$

Paso 2.6.2.5.2

Suma $2$ y $216$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{0}{\frac{218}{27}}$

Paso 2.6.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{2}{81}) = 0 (\frac{27}{218})$

Paso 2.6.4

Multiplica $0$ por $\frac{27}{218}$ .

$f (\frac{2}{81}) = 0$

Paso 2.6.5

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3

Los extremos son $(- \frac{8}{3}, Undefined), (\frac{2}{81}, 0)$ .

$(- \frac{8}{3}, Undefined), (\frac{2}{81}, 0)$

Paso 4

La raíz cuadrada puede representarse de manera gráfica mediante los puntos alrededor del vértice $(- \frac{8}{3}, Undefined), (\frac{2}{81}, 0),$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{8}{3} & Undefined \\ \frac{2}{81} & 0 \end{array}$

Paso 5