Trigonometría Ejemplos

$f (x) = \frac{- 2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $- \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 2}$ no está definida.

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to \infty} - \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 2}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Reduce.

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Paso 3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 2}$ como ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2}$

Paso 3.1.2

Factoriza $x^{2} + 2$ de $2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 2}$

Paso 3.1.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.3.1

Multiplica por $1$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

Paso 3.1.3.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

Paso 3.1.3.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} - \frac{2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Paso 3.1.3.4

Divide $2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} - (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})$

Paso 3.1.4

Mueve ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.2

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.4

Reescribe ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x^{2} + 2}$ .

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 3.5

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Paso 3.6

Evalúa el límite.

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Paso 3.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Paso 3.6.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.6.2.1

Cancela el factor común.

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Paso 3.6.2.2

Reescribe la expresión.

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

Paso 3.6.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

Paso 3.6.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$- 2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

Paso 3.6.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$- 2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

Paso 3.6.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Paso 3.6.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Paso 3.6.8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 3.7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Paso 3.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.8.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.8.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Paso 3.8.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1}}$

Paso 3.8.1.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$- 2 (\frac{1}{1})$

Paso 3.8.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 3.8.2.1

Cancela el factor común.

$- 2 (\frac{1}{1})$

Paso 3.8.2.2

Reescribe la expresión.

$- 2 \cdot 1$

Paso 3.8.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 4

Evalúa $lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 2}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 4.1

Reduce.

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Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 2}$ como ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2}$

Paso 4.1.2

Factoriza $x^{2} + 2$ de $2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 2}$

Paso 4.1.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.3.1

Multiplica por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

Paso 4.1.3.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

Paso 4.1.3.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Paso 4.1.3.4

Divide $2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} - (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})$

Paso 4.1.4

Mueve ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.4

Reescribe ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x^{2} + 2}$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Paso 4.5

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Paso 4.6

Evalúa el límite.

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Paso 4.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Paso 4.6.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 4.6.2.1

Cancela el factor común.

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

Paso 4.6.2.2

Reescribe la expresión.

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

Paso 4.6.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

Paso 4.6.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$- 2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

Paso 4.6.5

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

Paso 4.6.6

Mueve el límite debajo del signo radical.

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

Paso 4.6.7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Paso 4.6.8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

Paso 4.6.9

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 4.7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Paso 4.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.8.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 4.8.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- 2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

Paso 4.8.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}})$

Paso 4.8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.8.2.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 0}})$

Paso 4.8.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{\sqrt{1}})$

Paso 4.8.2.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{1})$

Paso 4.8.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 4.8.3.1

Cancela el factor común.

$- 2 (- \frac{1}{1})$

Paso 4.8.3.2

Reescribe la expresión.

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Paso 4.8.4

Multiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 4.8.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Paso 4.8.4.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2$

Paso 5

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = - 2, 2$

Paso 6

Usa la división polinómica para obtener las asíntotas oblicuas. Como esta expresión contiene un radical, la división polinómica no se puede hacer.

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

Asíntotas horizontales: $y = - 2, 2$

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 8