Trigonometría Ejemplos

$f (x) = | 2 \cos (\frac{π x}{2}) |$

Step 1

Obtén el vértice del valor absoluto. En este caso, el vértice de $y = 2 | \cos (\frac{π x}{2}) |$ es $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

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Para obtener la coordenada de $x$ del vértice, establece el interior del valor absoluto $\cos (\frac{π x}{2})$ igual a $0$ . En este caso, $\cos (\frac{π x}{2}) = 0$ .

$\cos (\frac{π x}{2}) = 0$

Resuelve la ecuación $\cos (\frac{π x}{2}) = 0$ para obtener la coordenada $x$ para el vértice del valor absoluto.

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$\frac{π x}{2} = \arccos (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2}$

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$π x = π$

Divide cada término en $π x = π$ por $π$ y simplifica.

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Divide cada término en $π x = π$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $π$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Simplifica el lado derecho.

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Cancela el factor común de $π$ .

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Cancela el factor común.

$x = \frac{π}{π}$

Reescribe la expresión.

$x = 1$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{π x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Resuelve $x$

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Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Cancela el factor común de $π$ .

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Factoriza $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $\frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2}{π} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2}{π} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{π} (2 π \cdot 2 - π)$

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{1}{π} (4 π - π)$

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{1}{π} (3 π)$

Cancela el factor común de $π$ .

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Factoriza $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{1}{π} (π \cdot 3)$

Cancela el factor común.

$x = \frac{1}{π} (π \cdot 3)$

Reescribe la expresión.

$x = 3$

Obtén el período de $\cos (\frac{π x}{2})$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $\frac{π}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

$\frac{π}{2}$ es aproximadamente $1.57079632$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \frac{2}{π}$

Cancela el factor común de $π$ .

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Factoriza $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Cancela el factor común.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 2$

Multiplica $2$ por $2$ .

$4$

El período de la función $\cos (\frac{π x}{2})$ es $4$ , por lo que los valores se repetirán cada $4$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1 + 4 n, 3 + 4 n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida las respuestas.

$x = 1 + 2 n$ , para cualquier número entero $n$

Reemplaza la variable $x$ con $1 + 2 n$ en la expresión.

$y = 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |$

El vértice del valor absoluto es $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

$(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$

Step 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Step 3

El valor absoluto puede representarse gráficamente mediante los puntos alrededor del vértice $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |),$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 + 2 n & 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) | \end{array}$

Step 4