Trigonometría Ejemplos

$\log_{3} (\frac{81}{\sqrt{x - 1}})$

Step 1

Obtén el dominio para $y = \log_{3} (\frac{81}{\sqrt{x - 1}})$ de modo que se pueda elegir una lista de valores de $x$ para obtener una lista de puntos, lo que ayudará a graficar el radical.

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Establece el argumento en $\log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1} > 0$

Resuelve $x$

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Multiplicación cruzada.

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Aplica la multiplicación cruzada; para ello, haz que el producto del numerador del lado derecho y el denominador del lado izquierdo sean iguales al producto del numerador del lado izquierdo y el denominador del lado derecho.

$0 \cdot (x - 1) > 81 \sqrt{x - 1}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Multiplica $0$ por $x - 1$ .

$0 > 81 \sqrt{x - 1}$

Reescribe para que $81 \sqrt{x - 1}$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$81 \sqrt{x - 1} < 0$

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(81 \sqrt{x - 1})}^{2} < 0^{2}$

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica ${(81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Aplica la regla del producto a $81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$81^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Eleva $81$ a la potencia de $2$ .

$6561 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6561 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$6561 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Reescribe la expresión.

$6561 {(x - 1)}^{1} < 0^{2}$

Simplifica.

$6561 (x - 1) < 0^{2}$

Aplica la propiedad distributiva.

$6561 x + 6561 \cdot - 1 < 0^{2}$

Multiplica $6561$ por $- 1$ .

$6561 x - 6561 < 0^{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$6561 x - 6561 < 0$

Resuelve $x$

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Suma $6561$ a ambos lados de la desigualdad.

$6561 x < 6561$

Divide cada término en $6561 x < 6561$ por $6561$ y simplifica.

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Divide cada término en $6561 x < 6561$ por $6561$ .

$\frac{6561 x}{6561} < \frac{6561}{6561}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $6561$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{6561 x}{6561} < \frac{6561}{6561}$

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{6561}{6561}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $6561$ por $6561$ .

$x < 1$

Obtén el dominio de $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ .

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Establece el radicando en $\sqrt{x - 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x - 1 \geq 0$

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$x \geq 1$

Establece el denominador en $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 1 = 0$

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(1, \infty)$

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x > 1$

Establece el radicando en $\sqrt{x - 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x - 1 \geq 0$

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$x \geq 1$

Establece el denominador en $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 1 = 0$

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 1}$

Notación de intervalo:

$(1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 1}$

Step 2

Para obtener el extremo de la expresión con radicales, sustituye el valor $x$ $1$ , que es el menor valor en el dominio, en $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(1) - 1}}{(1) - 1})$

Resta $1$ de $1$ .

$f (1) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(1) - 1}}{0})$

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

$f (1) = Undefined$

Indefinida

Step 3

El extremo de la expresión radical es $(1, Undefined)$ .

$(1, Undefined)$

Step 4

Selecciona algunos valores de $x$ del dominio. Sería más útil seleccionar los valores para que estén próximos al valor $x$ del extremo de la expresión radical.

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Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ . En este caso, el punto es $(2, 4)$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(2) - 1}}{(2) - 1})$

Simplifica el resultado.

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Simplifica el numerador.

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Resta $1$ de $2$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{1}}{2 - 1})$

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \cdot 1}{2 - 1})$

Simplifica la expresión.

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Resta $1$ de $2$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \cdot 1}{1})$

Multiplica $81$ por $1$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81}{1})$

El logaritmo en base $3$ de $\frac{81}{1}$ es $4$ .

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Reescribe como una ecuación.

$\log_{3} (\frac{81}{1}) = x$

Reescribe $\log_{3} (\frac{81}{1}) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ no es igual a $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{x} = \frac{81}{1}$

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$3^{x} = 3^{4}$

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 4$

La variable $x$ es igual a $4$ .

$f (2) = 4$

La respuesta final es $4$ .

$y = 4$

Sustituye el valor $x$ $3$ en $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ . En este caso, el punto es $(3, \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2}))$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(3) - 1}}{(3) - 1})$

Simplifica el resultado.

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Resta $1$ de $3$ .

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{3 - 1})$

Resta $1$ de $3$ .

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$

La respuesta final es $\log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$ .

$y = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$

La raíz cuadrada puede representarse de manera gráfica mediante los puntos alrededor del vértice $(1, Undefined), (2, 4), (3, 3.68)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & Undefined \\ 2 & 4 \\ 3 & 3.68 \end{array}$

Step 5