Trigonometría Ejemplos

$\log_{2} (2 x^{2} + 24 x + 72)$

Step 1

Obtén las asíntotas.

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Establece el argumento del logaritmo igual a cero.

$2 x^{2} + 24 x + 72 = 0$

Resuelve $x$

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Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 24 x + 72$ .

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Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 24 x + 72 = 0$

Factoriza $2$ de $24 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (12 x) + 72 = 0$

Factoriza $2$ de $72$ .

$2 x^{2} + 2 (12 x) + 2 \cdot 36 = 0$

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 (12 x)$ .

$2 (x^{2} + 12 x) + 2 \cdot 36 = 0$

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} + 12 x) + 2 \cdot 36$ .

$2 (x^{2} + 12 x + 36) = 0$

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$2 (x^{2} + 12 x + 6^{2}) = 0$

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Reescribe el polinomio.

$2 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 6$ .

$2 {(x + 6)}^{2} = 0$

Divide cada término en $2 {(x + 6)}^{2} = 0$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 {(x + 6)}^{2} = 0$ por $2$ .

$\frac{2 {(x + 6)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 {(x + 6)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Divide ${(x + 6)}^{2}$ por $1$ .

${(x + 6)}^{2} = \frac{0}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $2$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

La asíntota vertical ocurre en $x = - 6$ .

Asíntota vertical: $x = - 6$

Step 2

Obtén el punto en $x = - 5$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = \log_{2} (2 {(- 5)}^{2} + 24 (- 5) + 72)$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f (- 5) = \log_{2} (2 \cdot 25 + 24 (- 5) + 72)$

Multiplica $2$ por $25$ .

$f (- 5) = \log_{2} (50 + 24 (- 5) + 72)$

Multiplica $24$ por $- 5$ .

$f (- 5) = \log_{2} (50 - 120 + 72)$

Simplifica mediante suma y resta.

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Resta $120$ de $50$ .

$f (- 5) = \log_{2} (- 70 + 72)$

Suma $- 70$ y $72$ .

$f (- 5) = \log_{2} (2)$

El logaritmo en base $2$ de $2$ es $1$ .

$f (- 5) = 1$

La respuesta final es $1$ .

$1$

Convierte $1$ a decimal.

$y = 1$

Step 3

Obtén el punto en $x = - 4$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = \log_{2} (2 {(- 4)}^{2} + 24 (- 4) + 72)$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f (- 4) = \log_{2} (2 \cdot 16 + 24 (- 4) + 72)$

Multiplica $2$ por $16$ .

$f (- 4) = \log_{2} (32 + 24 (- 4) + 72)$

Multiplica $24$ por $- 4$ .

$f (- 4) = \log_{2} (32 - 96 + 72)$

Simplifica mediante suma y resta.

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Resta $96$ de $32$ .

$f (- 4) = \log_{2} (- 64 + 72)$

Suma $- 64$ y $72$ .

$f (- 4) = \log_{2} (8)$

El logaritmo en base $2$ de $8$ es $3$ .

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Reescribe como una ecuación.

$\log_{2} (8) = x$

Reescribe $\log_{2} (8) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ no es igual a $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 8$

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{x} = 2^{3}$

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 3$

La variable $x$ es igual a $3$ .

$f (- 4) = 3$

La respuesta final es $3$ .

$3$

Convierte $3$ a decimal.

$y = 3$

Step 4

Obtén el punto en $x = - 2$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = \log_{2} (2 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) + 72)$

Simplifica el resultado.

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Simplifica cada término.

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Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = \log_{2} (2 \cdot 4 + 24 (- 2) + 72)$

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (- 2) = \log_{2} (8 + 24 (- 2) + 72)$

Multiplica $24$ por $- 2$ .

$f (- 2) = \log_{2} (8 - 48 + 72)$

Simplifica mediante suma y resta.

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Resta $48$ de $8$ .

$f (- 2) = \log_{2} (- 40 + 72)$

Suma $- 40$ y $72$ .

$f (- 2) = \log_{2} (32)$

El logaritmo en base $2$ de $32$ es $5$ .

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Reescribe como una ecuación.

$\log_{2} (32) = x$

Reescribe $\log_{2} (32) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ no es igual a $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 32$

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{x} = 2^{5}$

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 5$

La variable $x$ es igual a $5$ .

$f (- 2) = 5$

La respuesta final es $5$ .

$5$

Convierte $5$ a decimal.

$y = 5$

Step 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = - 6$ y los puntos $(- 5, 1), (- 4, 3), (- 2, 5)$ .

Asíntota vertical: $x = - 6$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 1 \\ - 4 & 3 \\ - 2 & 5 \end{array}$

Step 6