Trigonometría Ejemplos

${(y - 7)}^{2} = 25 - {(x - 3)}^{2}$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 1.1

Suma ${(x - 3)}^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

${(y - 7)}^{2} + {(x - 3)}^{2} = 25$

Paso 1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1

Reescribe ${(y - 7)}^{2}$ como $(y - 7) (y - 7)$ .

$(y - 7) (y - 7) + {(x - 3)}^{2} = 25$

Paso 1.2.2

Expande $(y - 7) (y - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y (y - 7) - 7 (y - 7) + {(x - 3)}^{2} = 25$

Paso 1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 (y - 7) + {(x - 3)}^{2} = 25$

Paso 1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7 + {(x - 3)}^{2} = 25$

Paso 1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2} + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7 + {(x - 3)}^{2} = 25$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve $- 7$ a la izquierda de $y$ .

$y^{2} - 7 \cdot y - 7 y - 7 \cdot - 7 + {(x - 3)}^{2} = 25$

Paso 1.2.3.1.3

Multiplica $- 7$ por $- 7$ .

$y^{2} - 7 y - 7 y + 49 + {(x - 3)}^{2} = 25$

Paso 1.2.3.2

Resta $7 y$ de $- 7 y$ .

$y^{2} - 14 y + 49 + {(x - 3)}^{2} = 25$

Paso 1.2.4

Reescribe ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$y^{2} - 14 y + 49 + (x - 3) (x - 3) = 25$

Paso 1.2.5

Expande $(x - 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} - 14 y + 49 + x (x - 3) - 3 (x - 3) = 25$

Paso 1.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} - 14 y + 49 + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3) = 25$

Paso 1.2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} - 14 y + 49 + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 = 25$

Paso 1.2.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y^{2} - 14 y + 49 + x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 = 25$

Paso 1.2.6.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$y^{2} - 14 y + 49 + x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 = 25$

Paso 1.2.6.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$y^{2} - 14 y + 49 + x^{2} - 3 x - 3 x + 9 = 25$

Paso 1.2.6.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$y^{2} - 14 y + 49 + x^{2} - 6 x + 9 = 25$

Paso 1.3

Suma $49$ y $9$ .

$y^{2} - 14 y + x^{2} - 6 x + 58 = 25$

Paso 1.4

Mueve $- 14 y$ .

$y^{2} + x^{2} - 6 x - 14 y + 58 = 25$

Paso 1.5

Reordena $y^{2}$ y $x^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 14 y + 58 = 25$

Paso 2

Mueve todos los términos que no contengan una variable al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.1

Resta $58$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 14 y = 25 - 58$

Paso 2.2

Resta $58$ de $25$ .

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 14 y = - 33$

Paso 3

Completa el cuadrado de $x^{2} - 6 x$ .

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Paso 3.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Paso 3.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Paso 3.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 3}{1}$

Paso 3.3.2.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$d = - 3$

Paso 3.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Paso 3.4.2.1.3

Divide $36$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Paso 3.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$e = 0 - 9$

Paso 3.4.2.2

Resta $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Paso 3.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 3)}^{2} - 9$ .

${(x - 3)}^{2} - 9$

Paso 4

Sustituye ${(x - 3)}^{2} - 9$ por $x^{2} - 6 x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 6 x - 14 y = - 33$ .

${(x - 3)}^{2} - 9 + y^{2} - 14 y = - 33$

Paso 5

Mueve $- 9$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $9$ a ambos lados.

${(x - 3)}^{2} + y^{2} - 14 y = - 33 + 9$

Paso 6

Completa el cuadrado de $y^{2} - 14 y$ .

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Paso 6.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 14$

$c = 0$

Paso 6.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 6.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 6.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 14}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2

Cancela el factor común de $- 14$ y $2$ .

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Paso 6.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 14$ .

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 (1)}$

Paso 6.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 7}{1}$

Paso 6.3.2.2.4

Divide $- 7$ por $1$ .

$d = - 7$

Paso 6.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 6.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 14)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1

Eleva $- 14$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{196}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{196}{4}$

Paso 6.4.2.1.3

Divide $196$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 49$

Paso 6.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $49$ .

$e = 0 - 49$

Paso 6.4.2.2

Resta $49$ de $0$ .

$e = - 49$

Paso 6.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y - 7)}^{2} - 49$ .

${(y - 7)}^{2} - 49$

Paso 7

Sustituye ${(y - 7)}^{2} - 49$ por $y^{2} - 14 y$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 6 x - 14 y = - 33$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y - 7)}^{2} - 49 = - 33 + 9$

Paso 8

Mueve $- 49$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $49$ a ambos lados.

${(x - 3)}^{2} + {(y - 7)}^{2} = - 33 + 9 + 49$

Paso 9

Simplifica $- 33 + 9 + 49$ .

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Paso 9.1

Suma $- 33$ y $9$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y - 7)}^{2} = - 24 + 49$

Paso 9.2

Suma $- 24$ y $49$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y - 7)}^{2} = 25$

Paso 10

Esta es la forma de un círculo. Usa esta forma para determinar el centro y el radio del círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Paso 11

Haz coincidir los valores de este círculo con los de la ecuación ordinaria. La variable $r$ representa el radio del círculo, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$r = 5$

$h = 3$

$k = 7$

Paso 12

El centro del círculo se ubica en $(h, k)$ .

Centro: $(3, 7)$

Paso 13

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de un círculo.

Centro: $(3, 7)$

Radio: $5$

Paso 14