Trigonometría Ejemplos

${(\sqrt{x} - 9)}^{4} + 1$

Paso 1

Simplifica ${(\sqrt{x} - 9)}^{4} + 1$ .

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Usa el teorema del binomio.

$y = {\sqrt{x}}^{4} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.1

Reescribe ${\sqrt{x}}^{4}$ como $x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(x^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = x^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$y = x^{\frac{4}{2}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.1.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = x^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$y = x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y = x^{\frac{2}{1}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$y = x^{2} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.2

Reescribe ${\sqrt{x}}^{3}$ como $\sqrt{x^{3}}$ .

$y = x^{2} + 4 \sqrt{x^{3}} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.3

Factoriza $x^{2}$ .

$y = x^{2} + 4 \sqrt{x^{2} x} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.4

Retira los términos de abajo del radical.

$y = x^{2} + 4 (x \sqrt{x}) \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.5

Multiplica $- 9$ por $4$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.6

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x^{\frac{2}{2}} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x^{\frac{2}{2}} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x^{1} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.6.5

Simplifica.

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.7

Eleva $- 9$ a la potencia de $2$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x \cdot 81 + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.8

Multiplica $81$ por $6$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.9

Eleva $- 9$ a la potencia de $3$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x + 4 \sqrt{x} \cdot - 729 + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.10

Multiplica $- 729$ por $4$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x - 2916 \sqrt{x} + {(- 9)}^{4} + 1$

Paso 1.1.2.11

Eleva $- 9$ a la potencia de $4$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x - 2916 \sqrt{x} + 6561 + 1$

Paso 1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.1

Suma $6561$ y $1$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x - 2916 \sqrt{x} + 6562$

Paso 1.2.2

Mueve $- 36 x \sqrt{x}$ .

$y = x^{2} + 486 x - 36 x \sqrt{x} - 2916 \sqrt{x} + 6562$

Paso 2

Obtén el dominio para $y = {(\sqrt{x} - 9)}^{4} + 1$ de modo que se pueda elegir una lista de valores de $x$ para obtener una lista de puntos, lo que ayudará a graficar el radical.

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Paso 2.1

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 2.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Paso 3

Para obtener el extremo de la expresión con radicales, sustituye el valor $x$ $0$ , que es el menor valor en el dominio, en $f (x) = x^{2} + 486 x - 36 x \sqrt{x} - 2916 \sqrt{x} + 6562$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{2} + 486 (0) - 36 \cdot 0 \sqrt{0} - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 486 (0) - 36 \cdot (0 \sqrt{0}) - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $486$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 36 \cdot (0 \sqrt{0}) - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- 36$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 \sqrt{0} - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Paso 3.2.1.4

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 \sqrt{0^{2}} - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Paso 3.2.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (0) = 0 + 0 + 0 \cdot 0 - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Paso 3.2.1.6

Multiplica $0$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Paso 3.2.1.7

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 2916 \sqrt{0^{2}} + 6562$

Paso 3.2.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 2916 \cdot 0 + 6562$

Paso 3.2.1.9

Multiplica $- 2916$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 0 + 6562$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 6562$

Paso 3.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 6562$

Paso 3.2.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 6562$

Paso 3.2.2.4

Suma $0$ y $6562$ .

$f (0) = 6562$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $6562$ .

$6562$

Paso 4

El extremo de la expresión radical es $(0, 6562)$ .

$(0, 6562)$

Paso 5

Selecciona algunos valores de $x$ del dominio. Sería más útil seleccionar los valores para que estén próximos al valor $x$ del extremo de la expresión radical.

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Paso 5.1

Sustituye el valor $x$ $1$ en $f (x) = x^{2} + 486 x - 36 x \sqrt{x} - 2916 \sqrt{x} + 6562$ . En este caso, el punto es $(1, 4097)$ .

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Paso 5.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{2} + 486 (1) - 36 \cdot 1 \sqrt{1} - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Paso 5.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 + 486 (1) - 36 \cdot (1 \sqrt{1}) - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Paso 5.1.2.1.2

Multiplica $486$ por $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 \cdot (1 \sqrt{1}) - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Paso 5.1.2.1.3

Multiplica $- 36$ por $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 \sqrt{1} - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Paso 5.1.2.1.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 \cdot 1 - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Paso 5.1.2.1.5

Multiplica $- 36$ por $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Paso 5.1.2.1.6

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 - 2916 \cdot 1 + 6562$

Paso 5.1.2.1.7

Multiplica $- 2916$ por $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 - 2916 + 6562$

Paso 5.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.1.2.2.1

Suma $1$ y $486$ .

$f (1) = 487 - 36 - 2916 + 6562$

Paso 5.1.2.2.2

Resta $36$ de $487$ .

$f (1) = 451 - 2916 + 6562$

Paso 5.1.2.2.3

Resta $2916$ de $451$ .

$f (1) = - 2465 + 6562$

Paso 5.1.2.2.4

Suma $- 2465$ y $6562$ .

$f (1) = 4097$

Paso 5.1.2.3

La respuesta final es $4097$ .

$y = 4097$

Paso 5.2

Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = x^{2} + 486 x - 36 x \sqrt{x} - 2916 \sqrt{x} + 6562$ . En este caso, el punto es $(2, 7538 - 2988 \sqrt{2})$ .

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Paso 5.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = {(2)}^{2} + 486 (2) - 36 \cdot 2 \sqrt{2} - 2916 \sqrt{2} + 6562$

Paso 5.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = 4 + 486 (2) - 36 \cdot (2 \sqrt{2}) - 2916 \sqrt{2} + 6562$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $486$ por $2$ .

$f (2) = 4 + 972 - 36 \cdot (2 \sqrt{2}) - 2916 \sqrt{2} + 6562$

Paso 5.2.2.1.3

Multiplica $- 36$ por $2$ .

$f (2) = 4 + 972 - 72 \sqrt{2} - 2916 \sqrt{2} + 6562$

Paso 5.2.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.2.2.1

Suma $4$ y $972$ .

$f (2) = 976 - 72 \sqrt{2} - 2916 \sqrt{2} + 6562$

Paso 5.2.2.2.2

Suma $976$ y $6562$ .

$f (2) = 7538 - 72 \sqrt{2} - 2916 \sqrt{2}$

Paso 5.2.2.2.3

Resta $2916 \sqrt{2}$ de $- 72 \sqrt{2}$ .

$f (2) = 7538 - 2988 \sqrt{2}$

Paso 5.2.2.3

La respuesta final es $7538 - 2988 \sqrt{2}$ .

$y = 7538 - 2988 \sqrt{2}$

Paso 5.3

La raíz cuadrada puede representarse de manera gráfica mediante los puntos alrededor del vértice $(0, 6562), (1, 4097), (2, 3312.33)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 6562 \\ 1 & 4097 \\ 2 & 3312.33 \end{array}$

Paso 6