Trigonometría Ejemplos

${(x + 1)}^{2} + {(v - 4)}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Paso 1

Resuelve $y$

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Paso 1.1

Resta ${(v - 4)}^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

${(x + 1)}^{2} = {(x + 3)}^{2} - {(v - 4)}^{2}$

Paso 1.2

Resta ${(x + 3)}^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - {(v - 4)}^{2}$

Paso 1.3

Simplifica $- {(v - 4)}^{2}$ .

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Paso 1.3.1

Reescribe ${(v - 4)}^{2}$ como $(v - 4) (v - 4)$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - ((v - 4) (v - 4))$

Paso 1.3.2

Expande $(v - 4) (v - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v (v - 4) - 4 (v - 4))$

Paso 1.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v \cdot v + v \cdot - 4 - 4 (v - 4))$

Paso 1.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v \cdot v + v \cdot - 4 - 4 v - 4 \cdot - 4)$

Paso 1.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Multiplica $v$ por $v$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} + v \cdot - 4 - 4 v - 4 \cdot - 4)$

Paso 1.3.3.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $v$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} - 4 \cdot v - 4 v - 4 \cdot - 4)$

Paso 1.3.3.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} - 4 v - 4 v + 16)$

Paso 1.3.3.2

Resta $4 v$ de $- 4 v$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} - 8 v + 16)$

Paso 1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - v^{2} - (- 8 v) - 1 \cdot 16$

Paso 1.3.5

Simplifica.

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Paso 1.3.5.1

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - v^{2} + 8 v - 1 \cdot 16$

Paso 1.3.5.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - v^{2} + 8 v - 16$

Paso 1.4

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 1.4.1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.4.1.1

Suma $v^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} = 8 v - 16$

Paso 1.4.1.2

Resta $8 v$ de ambos lados de la ecuación.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v = - 16$

Paso 1.4.1.3

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2

Simplifica ${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16$ .

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Paso 1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.1.1

Reescribe ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x + 1) (x + 1) - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.1.2

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.4.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x + 1) + 1 (x + 1) - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.4.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.1.3.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.1.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$x^{2} + x + x + 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.1.3.2

Suma $x$ y $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.1.4

Reescribe ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - ((x + 3) (x + 3)) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.1.5

Expande $(x + 3) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.4.2.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 2 x + 1 - (x (x + 3) + 3 (x + 3)) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 2 x + 1 - (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 2 x + 1 - (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.4.2.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.1.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.1.6.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.1.6.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.1.6.2

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + 6 x + 9) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.1.8

Simplifica.

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Paso 1.4.2.1.8.1

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.1.8.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16$ .

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Paso 1.4.2.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$2 x + 1 + 0 - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.2.2

Suma $2 x + 1$ y $0$ .

$2 x + 1 - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.3

Resta $6 x$ de $2 x$ .

$- 4 x + 1 - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.4

Resta $9$ de $1$ .

$- 4 x - 8 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Paso 1.4.2.5

Suma $- 8$ y $16$ .

$- 4 x + v^{2} - 8 v + 8 = 0$

Paso 1.5

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.5.1

Resta $v^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x - 8 v + 8 = - v^{2}$

Paso 1.5.2

Suma $8 v$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 x + 8 = - v^{2} + 8 v$

Paso 1.5.3

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x = - v^{2} + 8 v - 8$

Paso 1.6

Divide cada término en $- 4 x = - v^{2} + 8 v - 8$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 1.6.1

Divide cada término en $- 4 x = - v^{2} + 8 v - 8$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- v^{2}}{- 4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Paso 1.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.6.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 1.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- v^{2}}{- 4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Paso 1.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- v^{2}}{- 4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Paso 1.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{v^{2}}{4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Paso 1.6.3.1.2

Cancela el factor común de $8$ y $- 4$ .

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Paso 1.6.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $8 v$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} + \frac{4 (2 v)}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Paso 1.6.3.1.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 v}{- 1}$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} - 1 \cdot (2 v) + \frac{- 8}{- 4}$

Paso 1.6.3.1.3

Reescribe $- 1 \cdot (2 v)$ como $- (2 v)$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} - (2 v) + \frac{- 8}{- 4}$

Paso 1.6.3.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} - 2 v + \frac{- 8}{- 4}$

Paso 1.6.3.1.5

Divide $- 8$ por $- 4$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} - 2 v + 2$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $- v^{2} + 8 v - 16$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 8$

$c = - 16$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Paso 2.1.1.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$d = - 4$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 16 - \frac{8^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$e = - 16 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = - 16 - \frac{64}{- 4}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Divide $64$ por $- 4$ .

$e = - 16 - - 16$

Paso 2.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 16$ .

$e = - 16 + 16$

Paso 2.1.1.4.2.2

Suma $- 16$ y $16$ .

$e = 0$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(v - 4)}^{2} + 0$ .

$- {(v - 4)}^{2} + 0$

Paso 2.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - {(v - 4)}^{2} + 0$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(v - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 1$

$h = 4$

$k = 0$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(4, 0)$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.5.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 2.5.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4, - \frac{1}{4})$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$v = 4$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{1}{4}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(4, 0)$

Foco: $(4, - \frac{1}{4})$

Eje de simetría: $v = 4$

Directriz: $y = \frac{1}{4}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(4, 0)$

Foco: $(4, - \frac{1}{4})$

Eje de simetría: $v = 4$

Directriz: $y = \frac{1}{4}$

Paso 3