Trigonometría Ejemplos

$\frac{y + 1}{y^{2} - 4 y - 12}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ no está definida.

$y = - 2, y = 6$

Paso 2

Como $\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $y$ $\to$ $- 2$ desde la izquierda y $\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ $\to$ $\infty$ a medida que $y$ $\to$ $- 2$ desde la derecha, entonces $y = - 2$ es una asíntota vertical.

$y = - 2$

Paso 3

Como $\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $y$ $\to$ $6$ desde la izquierda y $\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ $\to$ $\infty$ a medida que $y$ $\to$ $6$ desde la derecha, entonces $y = 6$ es una asíntota vertical.

$y = 6$

Paso 4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$y = - 2, 6$

Paso 5

$x = \frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ es una ecuación de una línea, lo que significa que no hay asíntotas horizontales.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Factoriza $y^{2} - 4 y - 12$ con el método AC.

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Paso 6.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 6, 2$

Paso 6.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$

Paso 6.2

Expande $(y - 6) (y + 2)$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y + 1}{y (y + 2) - 6 (y + 2)}$

Paso 6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y + 1}{y \cdot y + y \cdot 2 - 6 (y + 2)}$

Paso 6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y + 1}{y \cdot y + y \cdot 2 - 6 y - 6 \cdot 2}$

Paso 6.2.4

Reordena $y$ y $2$ .

$\frac{y + 1}{y \cdot y + 2 y - 6 y - 6 \cdot 2}$

Paso 6.2.5

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y + 1}{y \cdot y + 2 y - 6 y - 6 \cdot 2}$

Paso 6.2.6

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y + 1}{y \cdot y + 2 y - 6 y - 6 \cdot 2}$

Paso 6.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y + 1}{y^{1 + 1} + 2 y - 6 y - 6 \cdot 2}$

Paso 6.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{y + 1}{y^{2} + 2 y - 6 y - 6 \cdot 2}$

Paso 6.2.9

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$\frac{y + 1}{y^{2} + 2 y - 6 y - 12}$

Paso 6.2.10

Resta $6 y$ de $2 y$ .

$\frac{y + 1}{y^{2} - 4 y - 12}$

Paso 6.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y^{2}$

$4 y$

$12$

$y$

$1$

Paso 6.4

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$0 + \frac{y^{2} - 3 y - 11}{y^{2} - 4 y - 12}$

Paso 6.5

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = 0$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $y = - 2, 6$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = 0$

Paso 8