Trigonometría Ejemplos

$16 x^{2} - 128 x + 9 y^{2} - 108 y + 336 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Resta $336$ de ambos lados de la ecuación.

$16 x^{2} - 128 x + 9 y^{2} - 108 y = - 336$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $16 x^{2} - 128 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 16$

$b = - 128$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 128}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 128$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 128$ .

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 (16)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 \cdot 16}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 64}{16}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 64$ y $16$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $16$ de $- 64$ .

$d = \frac{16 \cdot - 4}{16}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $16$ de $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 4}{16 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{16 \cdot - 4}{16 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 4}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$d = - 4$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 128)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 128$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{16384}{4 \cdot 16}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$e = 0 - \frac{16384}{64}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $16384$ por $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 256$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $256$ .

$e = 0 - 256$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $256$ de $0$ .

$e = - 256$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $16 {(x - 4)}^{2} - 256$ .

$16 {(x - 4)}^{2} - 256$

Paso 1.3

Sustituye $16 {(x - 4)}^{2} - 256$ por $16 x^{2} - 128 x$ en la ecuación $16 x^{2} - 128 x + 9 y^{2} - 108 y = - 336$ .

$16 {(x - 4)}^{2} - 256 + 9 y^{2} - 108 y = - 336$

Paso 1.4

Mueve $- 256$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $256$ a ambos lados.

$16 {(x - 4)}^{2} + 9 y^{2} - 108 y = - 336 + 256$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $9 y^{2} - 108 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 9$

$b = - 108$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 108}{2 \cdot 9}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 108$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 108$ .

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 \cdot 9}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 (9)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 \cdot 9}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 54}{9}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 54$ y $9$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $9$ de $- 54$ .

$d = \frac{9 \cdot - 6}{9}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.2.2.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 6}{9 (1)}$

Paso 1.5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{9 \cdot - 6}{9 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 6}{1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.4

Divide $- 6$ por $1$ .

$d = - 6$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 108)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 108$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{11664}{4 \cdot 9}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{11664}{36}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $11664$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 324$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $324$ .

$e = 0 - 324$

Paso 1.5.4.2.2

Resta $324$ de $0$ .

$e = - 324$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $9 {(y - 6)}^{2} - 324$ .

$9 {(y - 6)}^{2} - 324$

Paso 1.6

Sustituye $9 {(y - 6)}^{2} - 324$ por $9 y^{2} - 108 y$ en la ecuación $16 x^{2} - 128 x + 9 y^{2} - 108 y = - 336$ .

$16 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 6)}^{2} - 324 = - 336 + 256$

Paso 1.7

Mueve $- 324$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $324$ a ambos lados.

$16 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 6)}^{2} = - 336 + 256 + 324$

Paso 1.8

Simplifica $- 336 + 256 + 324$ .

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Paso 1.8.1

Suma $- 336$ y $256$ .

$16 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 6)}^{2} = - 80 + 324$

Paso 1.8.2

Suma $- 80$ y $324$ .

$16 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 6)}^{2} = 244$

Paso 1.9

Divide cada término por $244$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{16 {(x - 4)}^{2}}{244} + \frac{9 {(y - 6)}^{2}}{244} = \frac{244}{244}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{\frac{61}{4}} + \frac{{(y - 6)}^{2}}{\frac{244}{9}} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = \frac{2 \sqrt{61}}{3}$

$b = \frac{\sqrt{61}}{2}$

$k = 6$

$h = 4$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(4, 6)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(\frac{2 \sqrt{61}}{3})}^{2} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{61}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{{(2 \sqrt{61})}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{61}$ .

$\sqrt{\frac{2^{2} {\sqrt{61}}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{4 {\sqrt{61}}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Reescribe ${\sqrt{61}}^{2}$ como $61$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{61}$ como $61^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{4 {(61^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 61^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 61^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 61^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 61^{1}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 61}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.3

Simplifica mediante la cancelación del exponente con el radical.

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Paso 5.3.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 61}{9} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.2.1

Multiplica $4$ por $61$ .

$\sqrt{\frac{244}{9} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.3.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{61}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{244}{9} - \frac{{\sqrt{61}}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 5.3.3.3

Reescribe ${\sqrt{61}}^{2}$ como $61$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{61}$ como $61^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{244}{9} - \frac{{(61^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 5.3.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{244}{9} - \frac{61^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Paso 5.3.3.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{244}{9} - \frac{61^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 5.3.3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{244}{9} - \frac{61^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 5.3.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{244}{9} - \frac{61^{1}}{2^{2}}}$

Paso 5.3.3.3.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{244}{9} - \frac{61}{2^{2}}}$

Paso 5.3.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{244}{9} - \frac{61}{4}}$

Paso 5.3.4

Para escribir $\frac{244}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{244}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{61}{4}}$

Paso 5.3.5

Para escribir $- \frac{61}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{244}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{61}{4} \cdot \frac{9}{9}}$

Paso 5.3.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.6.1

Multiplica $\frac{244}{9}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{244 \cdot 4}{9 \cdot 4} - \frac{61}{4} \cdot \frac{9}{9}}$

Paso 5.3.6.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{244 \cdot 4}{36} - \frac{61}{4} \cdot \frac{9}{9}}$

Paso 5.3.6.3

Multiplica $\frac{61}{4}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{244 \cdot 4}{36} - \frac{61 \cdot 9}{4 \cdot 9}}$

Paso 5.3.6.4

Multiplica $4$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{244 \cdot 4}{36} - \frac{61 \cdot 9}{36}}$

Paso 5.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{244 \cdot 4 - 61 \cdot 9}{36}}$

Paso 5.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.8.1

Multiplica $244$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{976 - 61 \cdot 9}{36}}$

Paso 5.3.8.2

Multiplica $- 61$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{976 - 549}{36}}$

Paso 5.3.8.3

Resta $549$ de $976$ .

$\sqrt{\frac{427}{36}}$

Paso 5.3.9

Reescribe $\sqrt{\frac{427}{36}}$ como $\frac{\sqrt{427}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{427}}{\sqrt{36}}$

Paso 5.3.10

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.10.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{427}}{\sqrt{6^{2}}}$

Paso 5.3.10.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{427}}{6}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(4, 6 + \frac{2 \sqrt{61}}{3})$

Paso 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(4, 6 - (\frac{2 \sqrt{61}}{3}))$

Paso 6.5

Simplifica.

$(4, 6 - \frac{2 \sqrt{61}}{3})$

Paso 6.6

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(4, 6 + \frac{2 \sqrt{61}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(4, 6 - \frac{2 \sqrt{61}}{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(4, 6 + \frac{2 \sqrt{61}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(4, 6 - \frac{2 \sqrt{61}}{3})$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(4, 6 + \frac{\sqrt{427}}{6})$

Paso 7.3

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(4, 6 - (\frac{\sqrt{427}}{6}))$

Paso 7.5

Simplifica.

$(4, 6 - \frac{\sqrt{427}}{6})$

Paso 7.6

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(4, 6 + \frac{\sqrt{427}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(4, 6 - \frac{\sqrt{427}}{6})$

${Focus}_{1}$ : $(4, 6 + \frac{\sqrt{427}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(4, 6 - \frac{\sqrt{427}}{6})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{2 \sqrt{61}}{3})}^{2} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}}}{\frac{2 \sqrt{61}}{3}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{{(\frac{2 \sqrt{61}}{3})}^{2} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 8.3.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{61}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{{(2 \sqrt{61})}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.2.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{61}$ .

$\sqrt{\frac{2^{2} {\sqrt{61}}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{4 {\sqrt{61}}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.3.2

Reescribe ${\sqrt{61}}^{2}$ como $61$ .

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Paso 8.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{61}$ como $61^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{4 {(61^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 61^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 61^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 61^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 61^{1}}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 61}{3^{2}} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.4

Simplifica mediante la cancelación del exponente con el radical.

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Paso 8.3.4.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 61}{9} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.3.4.2.1

Multiplica $4$ por $61$ .

$\sqrt{\frac{244}{9} - {(\frac{\sqrt{61}}{2})}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.4.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{61}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{244}{9} - \frac{{\sqrt{61}}^{2}}{2^{2}}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.4.3

Reescribe ${\sqrt{61}}^{2}$ como $61$ .

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Paso 8.3.4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{61}$ como $61^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{244}{9} - \frac{{(61^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.4.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{244}{9} - \frac{61^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.4.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{244}{9} - \frac{61^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.4.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{244}{9} - \frac{61^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{244}{9} - \frac{61^{1}}{2^{2}}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.4.3.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{\frac{244}{9} - \frac{61}{2^{2}}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.4.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{244}{9} - \frac{61}{4}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.5

Para escribir $\frac{244}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{244}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{61}{4}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.6

Para escribir $- \frac{61}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{244}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{61}{4} \cdot \frac{9}{9}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.3.7.1

Multiplica $\frac{244}{9}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{244 \cdot 4}{9 \cdot 4} - \frac{61}{4} \cdot \frac{9}{9}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.7.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{244 \cdot 4}{36} - \frac{61}{4} \cdot \frac{9}{9}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.7.3

Multiplica $\frac{61}{4}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{244 \cdot 4}{36} - \frac{61 \cdot 9}{4 \cdot 9}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.7.4

Multiplica $4$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{244 \cdot 4}{36} - \frac{61 \cdot 9}{36}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{244 \cdot 4 - 61 \cdot 9}{36}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.9.1

Multiplica $244$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{976 - 61 \cdot 9}{36}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.9.2

Multiplica $- 61$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{976 - 549}{36}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.9.3

Resta $549$ de $976$ .

$\sqrt{\frac{427}{36}} \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.10

Reescribe $\sqrt{\frac{427}{36}}$ como $\frac{\sqrt{427}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{427}}{\sqrt{36}} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.11

Simplifica el denominador.

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Paso 8.3.11.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{427}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.11.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{427}}{6} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.12

Simplifica los términos.

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Paso 8.3.12.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.3.12.1.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{\sqrt{427}}{3 (2)} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.12.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{427}}{3 \cdot 2} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.12.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{427}}{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.12.2

Multiplica $\frac{\sqrt{427}}{2}$ por $\frac{1}{2 \sqrt{61}}$ .

$\frac{\sqrt{427}}{2 (2 \sqrt{61})}$

Paso 8.3.12.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{427}}{4 \sqrt{61}}$

Paso 8.3.13

Combina $\sqrt{427}$ y $\sqrt{61}$ en un solo radical.

$\frac{\sqrt{\frac{427}{61}}}{4}$

Paso 8.3.14

Cancela el factor común de $427$ y $61$ .

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Paso 8.3.14.1

Factoriza $61$ de $427$ .

$\frac{\sqrt{\frac{61 \cdot 7}{61}}}{4}$

Paso 8.3.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.14.2.1

Factoriza $61$ de $61$ .

$\frac{\sqrt{\frac{61 \cdot 7}{61 (1)}}}{4}$

Paso 8.3.14.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{\frac{61 \cdot 7}{61 \cdot 1}}}{4}$

Paso 8.3.14.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{\frac{7}{1}}}{4}$

Paso 8.3.14.2.4

Divide $7$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{7}}{4}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(4, 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(4, 6 + \frac{2 \sqrt{61}}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(4, 6 - \frac{2 \sqrt{61}}{3})$

${Focus}_{1}$ : $(4, 6 + \frac{\sqrt{427}}{6})$

${Focus}_{2}$ : $(4, 6 - \frac{\sqrt{427}}{6})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{7}}{4}$

Paso 10