Trigonometría Ejemplos

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 < 0$

Step 1

Factoriza por agrupación.

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Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Factoriza $5$ de $5 \cos (3 x)$ .

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 = 0$

Reescribe $5$ como $- 1$ más $6$

$2 \cos^{2} (3 x) + (- 1 + 6) \cos (3 x) - 3 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\cos (3 x) (2 \cos (3 x) - 1) + 3 (2 \cos (3 x) - 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 \cos (3 x) - 1$ .

$(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$

Step 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

$\cos (3 x) + 3 = 0$

Step 3

Establece $2 \cos (3 x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $2 \cos (3 x) - 1$ igual a $0$ .

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

Resuelve $2 \cos (3 x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (3 x) = 1$

Divide cada término en $2 \cos (3 x) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \cos (3 x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Divide $\cos (3 x)$ por $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{1}{2}$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$3 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$3 x = \frac{π}{3}$

Divide cada término en $3 x = \frac{π}{3}$ por $3$ y simplifica.

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Divide cada término en $3 x = \frac{π}{3}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Multiplica $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 3}$

Multiplica $3$ por $3$ .

$x = \frac{π}{9}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$3 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Resuelve $x$

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Simplifica.

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Multiplica $3$ por $2$ .

$3 x = \frac{6 π - π}{3}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$3 x = \frac{5 π}{3}$

Divide cada término en $3 x = \frac{5 π}{3}$ por $3$ y simplifica.

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Divide cada término en $3 x = \frac{5 π}{3}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Multiplica $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Multiplica $\frac{5 π}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 3}$

Multiplica $3$ por $3$ .

$x = \frac{5 π}{9}$

Obtén el período de $\cos (3 x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $3$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

El período de la función $\cos (3 x)$ es $\frac{2 π}{3}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{2 π}{3}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

Establece $\cos (3 x) + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\cos (3 x) + 3$ igual a $0$ .

$\cos (3 x) + 3 = 0$

Resuelve $\cos (3 x) + 3 = 0$ en $x$ .

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Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (3 x) = - 3$

El rango del coseno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 3$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$

Step 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$2 \cos^{2} (3 (1)) + 5 \cos (3 (1)) - 3 < 0$

$- 5.98979219$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Prueba un valor en el intervalo $\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$2 \cos^{2} (3 (2)) + 5 \cos (3 (2)) - 3 < 0$

$3.64470539$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Prueba un valor en el intervalo $\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$2 \cos^{2} (3 (3)) + 5 \cos (3 (3)) - 3 < 0$

$- 5.8953346$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ Verdadero

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ Falso

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ Verdadero

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ Verdadero

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ Falso

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ Verdadero

Step 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ o $\frac{7 π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{11 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Step 9