Trigonometría Ejemplos

$36 x^{2} - 9 y^{2} = 324$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Divide cada término por $324$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{36 x^{2}}{324} - \frac{9 y^{2}}{324} = \frac{324}{324}$

Paso 1.2

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{36} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 3$

$b = 6$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(6)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{9 + {(6)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{9 + 36}$

Paso 5.3.3

Suma $9$ y $36$ .

$\sqrt{45}$

Paso 5.3.4

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$\sqrt{9 (5)}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Paso 5.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$3 \sqrt{5}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3, 0)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 3, 0)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(3, 0), (- 3, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3 \sqrt{5}, 0)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 3 \sqrt{5}, 0)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(3 \sqrt{5}, 0), (- 3 \sqrt{5}, 0)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(6)}^{2}}}{3}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 6^{2}}}{3}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 36}}{3}$

Paso 8.3.1.3

Suma $9$ y $36$ .

$\frac{\sqrt{45}}{3}$

Paso 8.3.1.4

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Paso 8.3.1.4.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{3}$

Paso 8.3.1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{3}$

Paso 8.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 \sqrt{5}}{3}$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \sqrt{5}}{3}$

Paso 8.3.2.2

Divide $\sqrt{5}$ por $1$ .

$\sqrt{5}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{6^{2}}{3 \sqrt{5}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{36}{3 \sqrt{5}}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común de $36$ y $3$ .

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $3$ de $36$ .

$\frac{3 \cdot 12}{3 \sqrt{5}}$

Paso 9.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{3 \cdot 12}{3 (\sqrt{5})}$

Paso 9.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 12}{3 \sqrt{5}}$

Paso 9.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{12}{\sqrt{5}}$

Paso 9.3.3

Multiplica $\frac{12}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{12}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 9.3.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.4.1

Multiplica $\frac{12}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{12 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 9.3.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 9.3.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 9.3.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{12 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{12 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 9.3.4.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 9.3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{12 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{12 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 9.3.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{12 \sqrt{5}}{5}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm 2 \cdot x + 0$

Paso 11

Suma $2 \cdot x$ y $0$ .

$y = 2 x$

Paso 12

Suma $- 2 \cdot x$ y $0$ .

$y = - 2 x$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = 2 x, y = - 2 x$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(3, 0), (- 3, 0)$

Focos: $(3 \sqrt{5}, 0), (- 3 \sqrt{5}, 0)$

Excentricidad: $\sqrt{5}$

Parámetro focal: $\frac{12 \sqrt{5}}{5}$

Asíntotas: $y = 2 x$ , $y = - 2 x$

Paso 15