Trigonometría Ejemplos

$\frac{16}{y + 2} - \frac{7 y}{y^{2} - 7}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ no está definida.

$y = - \sqrt{7}, y = - 2, y = \sqrt{7}$

Paso 2

Como $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ a medida que $y$ $\to$ $- \sqrt{7}$ desde la izquierda y $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $y$ $\to$ $- \sqrt{7}$ desde la derecha, entonces $y = - \sqrt{7}$ es una asíntota vertical.

$y = - \sqrt{7}$

Paso 3

Como $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $y$ $\to$ $- 2$ desde la izquierda y $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ a medida que $y$ $\to$ $- 2$ desde la derecha, entonces $y = - 2$ es una asíntota vertical.

$y = - 2$

Paso 4

Como $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ a medida que $y$ $\to$ $\sqrt{7}$ desde la izquierda y $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $y$ $\to$ $\sqrt{7}$ desde la derecha, entonces $y = \sqrt{7}$ es una asíntota vertical.

$y = \sqrt{7}$

Paso 5

Enumera todas las asíntotas verticales:

$y = - \sqrt{7}, - 2, \sqrt{7}$

Paso 6

$x = \frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ es una ecuación de una línea, lo que significa que no hay asíntotas horizontales.

No hay asíntotas horizontales

Paso 7

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 7.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.1.1

Reordena los términos.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

Paso 7.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y^{3} + 2 y^{2}) - 7 y - 14}$

Paso 7.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{2} (y + 2) - 7 (y + 2)}$

Paso 7.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $y + 2$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$

Paso 7.2

Expande $(y + 2) (y^{2} - 7)$ .

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Paso 7.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y (y^{2} - 7) + 2 (y^{2} - 7)}$

Paso 7.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} + y \cdot - 7 + 2 (y^{2} - 7)}$

Paso 7.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} + y \cdot - 7 + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Paso 7.2.4

Reordena $y$ y $- 7$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Paso 7.2.5

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Paso 7.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{1 + 2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Paso 7.2.7

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Paso 7.2.8

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} - 7 y + 2 y^{2} - 14}$

Paso 7.2.9

Mueve $- 7 y$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

Paso 7.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$7 y$

$14$

$9 y^{2}$

$14 y$

$112$

Paso 7.4

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$0 + \frac{y^{3} + 11 y^{2} - 21 y - 126}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

Paso 7.5

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = 0$

Paso 8

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $y = - \sqrt{7}, - 2, \sqrt{7}$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = 0$

Paso 9