Trigonometría Ejemplos

$2 \sin^{2} (x) > 3 \cos (x)$

Step 1

Resta $3 \cos (x)$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) > 0$

Step 2

Reemplaza $2 \sin^{2} (x)$ con $2 (1 - \cos^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

Step 3

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 3 \cos (x) = 0$

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) = 0$

Step 4

Reordena el polinomio.

$- 2 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) + 2 = 0$

Step 5

Sustituye $u$ por $\cos (x)$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 3 u + 2 = 0$

Step 6

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Factoriza $- 1$ de $- 2 u^{2} - 3 u + 2$ .

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Factoriza $- 1$ de $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) - 3 u + 2 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- 3 u$ .

$- (2 u^{2}) - (3 u) + 2 = 0$

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$- (2 u^{2}) - (3 u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (2 u^{2}) - (3 u)$ .

$- (2 u^{2} + 3 u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (2 u^{2} + 3 u) - 1 (- 2)$ .

$- (2 u^{2} + 3 u - 2) = 0$

Factoriza.

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Factoriza por agrupación.

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Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Factoriza $3$ de $3 u$ .

$- (2 u^{2} + 3 u - 2) = 0$

Reescribe $3$ como $- 1$ más $4$

$- (2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$- (2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2) = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- (2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2) = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1)) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$- ((2 u - 1) (u + 2)) = 0$

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (2 u - 1) (u + 2) = 0$

Step 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Step 8

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $2 u - 1$ igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Resuelve $2 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u = 1$

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Step 9

Establece $u + 2$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u + 2$ igual a $0$ .

$u + 2 = 0$

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 2$

Step 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (2 u - 1) (u + 2) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

Step 11

Sustituye $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 2$

Step 12

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 2$

Step 13

Resuelve $x$ en $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 14

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - 2$ .

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El rango del coseno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 2$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 15

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 16

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$

Step 17

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$2 \sin^{2} (3) > 3 \cos (3)$

$0.03982971$ del lado izquierdo es mayor que $- 2.96997748$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Prueba un valor en el intervalo $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$2 \sin^{2} (6) > 3 \cos (6)$

$0.15614604$ del lado izquierdo no es mayor que $2.88051085$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Prueba un valor en el intervalo $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 9$

Reemplaza $x$ con $9$ en la desigualdad original.

$2 \sin^{2} (9) > 3 \cos (9)$

$0.33968329$ del lado izquierdo es mayor que $- 2.73339078$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ Verdadero

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Falso

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Verdadero

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{3}$ Verdadero

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Falso

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{11 π}{3}$ Verdadero

Step 18

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{π}{3} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n$ o $\frac{7 π}{3} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 19