Trigonometría Ejemplos

$\tan (x) < 2 \sin (x)$

Step 1

Divide cada término en $\tan (x) < 2 \sin (x)$ por $\tan (x)$ y simplifica.

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Divide cada término en $\tan (x) < 2 \sin (x)$ por $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $\tan (x)$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Reescribe la expresión.

$1 < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Simplifica el lado derecho.

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Separa las fracciones.

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\tan (x)}$

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 < \frac{2}{1} (\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Escribe $\sin (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Cancela el factor común.

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Reescribe la expresión.

$1 < \frac{2}{1} \cos (x)$

Divide $2$ por $1$ .

$1 < 2 \cos (x)$

Step 2

Reescribe para que $\cos (x)$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$2 \cos (x) > 1$

Step 3

Divide cada término en $2 \cos (x) > 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \cos (x) > 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) > \frac{1}{2}$

Step 4

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x > \arccos (\frac{1}{2})$

Step 5

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x > \frac{π}{3}$

Step 6

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Step 7

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Step 8

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Step 9

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 10

Obtén el dominio de $\tan (x) - 2 \sin (x)$ .

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Establece el argumento en $\tan (x)$ igual que $\frac{π}{2} + π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Step 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$

Step 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1.31$

Reemplaza $x$ con $1.31$ en la desigualdad original.

$\tan (1.31) < 2 \sin (1.31)$

$3.74708097$ del lado izquierdo no es menor que $1.9323699$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\tan (3) < 2 \sin (3)$

$- 0.14254654$ del lado izquierdo es menor que $0.28224001$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Prueba un valor en el intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$\tan (5) < 2 \sin (5)$

$- 3.380515$ del lado izquierdo es menor que $- 1.91784854$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Prueba un valor en el intervalo $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\tan (6) < 2 \sin (6)$

$- 0.29100619$ del lado izquierdo no es menor que $- 0.55883099$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Prueba un valor en el intervalo $\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 7.59$

Reemplaza $x$ con $7.59$ en la desigualdad original.

$\tan (7.59) < 2 \sin (7.59)$

$3.69973691$ del lado izquierdo no es menor que $1.93071743$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Prueba un valor en el intervalo $\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 9$

Reemplaza $x$ con $9$ en la desigualdad original.

$\tan (9) < 2 \sin (9)$

$- 0.45231565$ del lado izquierdo es menor que $0.82423697$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Prueba un valor en el intervalo $\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Elije un valor en el intervalo $\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 11$

Reemplaza $x$ con $11$ en la desigualdad original.

$\tan (11) < 2 \sin (11)$

$- 225.95084645$ del lado izquierdo es menor que $- 1.99998041$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Falso

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Verdadero

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ Verdadero

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Falso

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ Falso

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Verdadero

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ Verdadero

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Falso

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Verdadero

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ Verdadero

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Falso

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ Falso

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Verdadero

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ Verdadero

Step 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n$ or $\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

Step 14

Combina los intervalos.

$\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n or \frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n or \frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n or \frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 15