Trigonometría Ejemplos

y = h (x) + 2

$y = h (x) + 2$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 1.1.1

Resta

h (x)

$h (x)$ de ambos lados de la ecuación.

y - h x = 2

$y - h x = 2$

Paso 1.1.2

Reordena

y

$y$ y

- h x

$- h x$ .

- h x + y = 2

$- h x + y = 2$

- h x + y = 2

$- h x + y = 2$

Paso 1.2

Divide cada término por

2

$2$ para que el lado derecho sea igual a uno.

- \frac{h x}{2} + \frac{y}{2} = \frac{2}{2}

$- \frac{h x}{2} + \frac{y}{2} = \frac{2}{2}$

Paso 1.3

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a

1

$1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea

1

$1$ .

\frac{y}{2} - \frac{h x}{2} = 1

$\frac{y}{2} - \frac{h x}{2} = 1$

\frac{y}{2} - \frac{h x}{2} = 1

$\frac{y}{2} - \frac{h x}{2} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable

h

$h$ representa el desplazamiento de x desde el origen,

k

$k$ representa el desplazamiento de y desde el origen,

a

$a$ .

a = \sqrt{2}

$a = \sqrt{2}$

b = \sqrt{2}

$b = \sqrt{2}$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de

(h, k)

$(h, k)$ . Sustituye los valores de

h

$h$ y

k

$k$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén

c

$c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de

a

$a$ y

b

$b$ en la fórmula.

\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}

$\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Reescribe

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ como

2

$2$ .

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Paso 5.3.1.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ como

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ .

\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}

$\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{2})}^{2}}

$\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Combina

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ y

2

$2$ .

\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 5.3.1.4

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 5.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 5.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{2^{1} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 5.3.1.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{2 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe

${\sqrt{2}}^{2}$ como

$2$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{2}$ como

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$\sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{2 + 2^{1}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{2 + 2}$

Paso 5.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.1

Suma

$2$ y

$2$ .

$\sqrt{4}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe

$4$ como

$2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Paso 5.3.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$2$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar

$a$ a

$h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de

$h$ ,

$a$ y

$k$ en la fórmula y simplifica.

$(\sqrt{2}, 0)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de

$a$ de

$h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de

$h$ ,

$a$ y

$k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \sqrt{2}, 0)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de

$(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar

$c$ a

$h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de

$h$ ,

$c$ y

$k$ en la fórmula y simplifica.

$(2, 0)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de

$c$ de

$h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de

$h$ ,

$c$ y

$k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, 0)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(2, 0), (- 2, 0)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de

$a$ y

$b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Reescribe

${\sqrt{2}}^{2}$ como

$2$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{2}$ como

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.1.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$\frac{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.1.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 8.3.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2^{1} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{2 + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.2

Reescribe

${\sqrt{2}}^{2}$ como

$2$ .

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Paso 8.3.1.2.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{2}$ como

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.2.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$\frac{\sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.2.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 8.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2 + 2^{1}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{2 + 2}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.3

Suma

$2$ y

$2$ .

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.4

Reescribe

$4$ como

$2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.2

Multiplica

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ por

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.3.1

Multiplica

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ por

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 8.3.3.2

Eleva

$\sqrt{2}$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 8.3.3.3

Eleva

$\sqrt{2}$ a la potencia de

$1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 8.3.3.4

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.3.5

Suma

$1$ y

$1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 8.3.3.6

Reescribe

${\sqrt{2}}^{2}$ como

$2$ .

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Paso 8.3.3.6.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{2}$ como

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.3.6.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.3.6.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 8.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 8.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 8.3.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 8.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 8.3.4.2

Divide

$\sqrt{2}$ por

$1$ .

$\sqrt{2}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de

$b$ y

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Reescribe

${\sqrt{2}}^{2}$ como

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{2}$ como

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Paso 9.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Paso 9.3.1.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 9.3.1.4

Cancela el factor común de

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 9.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2^{1}}{2}$

Paso 9.3.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2}{2}$

Paso 9.3.2

Divide

$2$ por

$2$ .

$1$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Paso 11

Simplifica

$1 \cdot x + 0$ .

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Paso 11.1

Suma

$1 \cdot x$ y

$0$ .

$y = 1 \cdot x$

Paso 11.2

Multiplica

$x$ por

$1$ .

$y = x$

Paso 12

Simplifica

$- 1 \cdot x + 0$ .

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Paso 12.1

Suma

$- 1 \cdot x$ y

$0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Paso 12.2

Reescribe

$- 1 x$ como

$- x$ .

$y = - x$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = x, y = - x$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro:

$(0, 0)$

Vértices:

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Focos:

$(2, 0), (- 2, 0)$

Excentricidad:

$\sqrt{2}$

Parámetro focal:

$1$

Asíntotas:

$y = x$ ,

$y = - x$

Paso 15