Trigonometría Ejemplos

$y = \frac{4 \log_{3} (x)}{11 x^{3}}$

Step 1

Obtén las asíntotas.

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Obtén dónde la expresión $\frac{\log_{3} (x^{4})}{11 x^{3}}$ no está definida.

$x = 0$

Ignora el logaritmo y considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 0$

$m = 3$

Como $n < m$ , el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

$y = 0$

No hay asíntotas oblicuas para las funciones logarítmicas y trigonométricas.

No hay asíntotas oblicuas

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

Asíntotas verticales: $x = 0$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

Step 2

Obtén el punto en $x = 1$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{4 \log_{3} (1)}{11 {(1)}^{3}}$

Simplifica el resultado.

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Simplifica $4 \log_{3} (1)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$f (1) = \frac{\log_{3} (1^{4})}{11 \cdot 1^{3}}$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{\log_{3} (1^{4})}{11 \cdot 1}$

Simplifica el numerador.

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Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{\log_{3} (1)}{11 \cdot 1}$

El logaritmo en base $3$ de $1$ es $0$ .

$f (1) = \frac{0}{11 \cdot 1}$

Simplifica la expresión.

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Multiplica $11$ por $1$ .

$f (1) = \frac{0}{11}$

Divide $0$ por $11$ .

$f (1) = 0$

La respuesta final es $0$ .

$0$

Convierte $0$ a decimal.

$y = 0$

Step 3

Obtén el punto en $x = 2$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{4 \log_{3} (2)}{11 {(2)}^{3}}$

Simplifica el resultado.

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Simplifica $4 \log_{3} (2)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$f (2) = \frac{\log_{3} (2^{4})}{11 \cdot 2^{3}}$

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (2) = \frac{\log_{3} (2^{4})}{11 \cdot 8}$

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (2) = \frac{\log_{3} (16)}{11 \cdot 8}$

Multiplica $11$ por $8$ .

$f (2) = \frac{\log_{3} (16)}{88}$

Reescribe $\log_{3} (16)$ como $\log_{3} (2^{4})$ .

$f (2) = \frac{\log_{3} (2^{4})}{88}$

Expande $\log_{3} (2^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$f (2) = \frac{4 \log_{3} (2)}{88}$

Cancela el factor común de $4$ y $88$ .

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Factoriza $4$ de $4 \log_{3} (2)$ .

$f (2) = \frac{4 (\log_{3} (2))}{88}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $4$ de $88$ .

$f (2) = \frac{4 \log_{3} (2)}{4 \cdot 22}$

Cancela el factor común.

$f (2) = \frac{4 \log_{3} (2)}{4 \cdot 22}$

Reescribe la expresión.

$f (2) = \frac{\log_{3} (2)}{22}$

Reescribe $\frac{\log_{3} (2)}{22}$ como $\frac{1}{22} \log_{3} (2)$ .

$f (2) = \frac{1}{22} \cdot \log_{3} (2)$

Simplifica $\frac{1}{22} \log_{3} (2)$ al mover $\frac{1}{22}$ dentro del algoritmo.

$f (2) = \log_{3} (2^{\frac{1}{22}})$

La respuesta final es $\log_{3} (2^{\frac{1}{22}})$ .

$\log_{3} (2^{\frac{1}{22}})$

Convierte $\log_{3} (2^{\frac{1}{22}})$ a decimal.

$y = 0.02867862$

Step 4

Obtén el punto en $x = 3$ .

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Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \frac{4 \log_{3} (3)}{11 {(3)}^{3}}$

Simplifica el resultado.

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Simplifica $4 \log_{3} (3)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$f (3) = \frac{\log_{3} (3^{4})}{11 \cdot 3^{3}}$

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (3) = \frac{\log_{3} (3^{4})}{11 \cdot 27}$

Simplifica el numerador.

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Usa las reglas de logaritmos para mover $4$ fuera del exponente.

$f (3) = \frac{4 \log_{3} (3)}{11 \cdot 27}$

El logaritmo en base $3$ de $3$ es $1$ .

$f (3) = \frac{4 \cdot 1}{11 \cdot 27}$

Multiplica $4$ por $1$ .

$f (3) = \frac{4}{11 \cdot 27}$

Multiplica $11$ por $27$ .

$f (3) = \frac{4}{297}$

La respuesta final es $\frac{4}{297}$ .

$\frac{4}{297}$

Convierte $\frac{4}{297}$ a decimal.

$y = 0.\overline{013468}$

Step 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = 0$ y los puntos $(1, 0), (2, 0.02867862), (3, 0.\overline{013468})$ .

Asíntota vertical: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.029 \\ 3 & 0.013 \end{array}$

Step 6