Trigonometría Ejemplos

$y = 4 (x - 13) (x + 5)$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $4 (x - 13) (x + 5)$ .

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Paso 1.1.1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 x + 4 \cdot - 13) (x + 5)$

Paso 1.1.1.1.2

Multiplica $4$ por $- 13$ .

$(4 x - 52) (x + 5)$

Paso 1.1.1.1.3

Expande $(4 x - 52) (x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x (x + 5) - 52 (x + 5)$

Paso 1.1.1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot 5 - 52 (x + 5)$

Paso 1.1.1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot 5 - 52 x - 52 \cdot 5$

Paso 1.1.1.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.1.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.1.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 5 - 52 x - 52 \cdot 5$

Paso 1.1.1.1.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot 5 - 52 x - 52 \cdot 5$

Paso 1.1.1.1.4.1.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$4 x^{2} + 20 x - 52 x - 52 \cdot 5$

Paso 1.1.1.1.4.1.3

Multiplica $- 52$ por $5$ .

$4 x^{2} + 20 x - 52 x - 260$

Paso 1.1.1.1.4.2

Resta $52 x$ de $20 x$ .

$4 x^{2} - 32 x - 260$

Paso 1.1.1.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4$

$b = - 32$

$c = - 260$

Paso 1.1.1.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 4}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Cancela el factor común de $- 32$ y $2$ .

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.4.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (4)}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 16}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.2

Cancela el factor común de $- 16$ y $4$ .

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Paso 1.1.1.4.2.2.1

Factoriza $4$ de $- 16$ .

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.4.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}$

Paso 1.1.1.4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 4}{1}$

Paso 1.1.1.4.2.2.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$d = - 4$

Paso 1.1.1.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 260 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 1.1.1.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.5.2.1.1

Eleva $- 32$ a la potencia de $2$ .

$e = - 260 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

Paso 1.1.1.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = - 260 - \frac{1024}{16}$

Paso 1.1.1.5.2.1.3

Divide $1024$ por $16$ .

$e = - 260 - 1 \cdot 64$

Paso 1.1.1.5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$e = - 260 - 64$

Paso 1.1.1.5.2.2

Resta $64$ de $- 260$ .

$e = - 324$

Paso 1.1.1.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4 {(x - 4)}^{2} - 324$ .

$4 {(x - 4)}^{2} - 324$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = 4 {(x - 4)}^{2} - 324$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 4$

$h = 4$

$k = - 324$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(4, - 324)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

Paso 1.5.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{1}{16}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4, - \frac{5183}{16})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 4$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{5185}{16}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(4, - 324)$

Foco: $(4, - \frac{5183}{16})$

Eje de simetría: $x = 4$

Directriz: $y = - \frac{5185}{16}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(4, - 324)$

Foco: $(4, - \frac{5183}{16})$

Eje de simetría: $x = 4$

Directriz: $y = - \frac{5185}{16}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = 4 ((3) - 13) ((3) + 5)$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Resta $13$ de $3$ .

$f (3) = 4 \cdot (- 10 ((3) + 5))$

Paso 2.2.2

Multiplica $4$ por $- 10$ .

$f (3) = - 40 ((3) + 5)$

Paso 2.2.3

Suma $3$ y $5$ .

$f (3) = - 40 \cdot 8$

Paso 2.2.4

Multiplica $- 40$ por $8$ .

$f (3) = - 320$

Paso 2.2.5

La respuesta final es $- 320$ .

$- 320$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = 3$ es $- 320$ .

$y = - 320$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = 4 ((2) - 13) ((2) + 5)$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Resta $13$ de $2$ .

$f (2) = 4 \cdot (- 11 ((2) + 5))$

Paso 2.5.2

Multiplica $4$ por $- 11$ .

$f (2) = - 44 ((2) + 5)$

Paso 2.5.3

Suma $2$ y $5$ .

$f (2) = - 44 \cdot 7$

Paso 2.5.4

Multiplica $- 44$ por $7$ .

$f (2) = - 308$

Paso 2.5.5

La respuesta final es $- 308$ .

$- 308$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = 2$ es $- 308$ .

$y = - 308$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = 4 ((5) - 13) ((5) + 5)$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Resta $13$ de $5$ .

$f (5) = 4 \cdot (- 8 ((5) + 5))$

Paso 2.8.2

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$f (5) = - 32 ((5) + 5)$

Paso 2.8.3

Suma $5$ y $5$ .

$f (5) = - 32 \cdot 10$

Paso 2.8.4

Multiplica $- 32$ por $10$ .

$f (5) = - 320$

Paso 2.8.5

La respuesta final es $- 320$ .

$- 320$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 5$ es $- 320$ .

$y = - 320$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f (6) = 4 ((6) - 13) ((6) + 5)$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Resta $13$ de $6$ .

$f (6) = 4 \cdot (- 7 ((6) + 5))$

Paso 2.11.2

Multiplica $4$ por $- 7$ .

$f (6) = - 28 ((6) + 5)$

Paso 2.11.3

Suma $6$ y $5$ .

$f (6) = - 28 \cdot 11$

Paso 2.11.4

Multiplica $- 28$ por $11$ .

$f (6) = - 308$

Paso 2.11.5

La respuesta final es $- 308$ .

$- 308$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 6$ es $- 308$ .

$y = - 308$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 308 \\ 3 & - 320 \\ 4 & - 324 \\ 5 & - 320 \\ 6 & - 308 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(4, - 324)$

Foco: $(4, - \frac{5183}{16})$

Eje de simetría: $x = 4$

Directriz: $y = - \frac{5185}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 308 \\ 3 & - 320 \\ 4 & - 324 \\ 5 & - 320 \\ 6 & - 308 \end{array}$

Paso 4