Trigonometría Ejemplos

$f (x) = 9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$f (x) = - 9 x^{3} + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Paso 2

Factoriza $- x$ de $- 9 x^{3} + 4 x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $- x$ de $- 9 x^{3}$ .

$f (x) = - x (9 x^{2}) + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Paso 2.2

Factoriza $- x$ de $4 x$ .

$f (x) = - x (9 x^{2}) - x \cdot - 4 + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Paso 2.3

Factoriza $- x$ de $- x (9 x^{2}) - x (- 4)$ .

$f (x) = - x (9 x^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Paso 3

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$f (x) = - x ({(3 x)}^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Paso 4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (x) = - x ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Paso 5

Factoriza.

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Paso 5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 x$ y $b = 2$ .

$f (x) = - x ((3 x + 2) (3 x - 2)) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Paso 5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24$

Paso 6

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 {(x^{2})}^{2} - 58 x^{2} + 24$

Paso 7

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24$

Paso 8

Factoriza por agrupación.

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Paso 8.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot 24 = 216$ y cuya suma es $b = - 58$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $- 58$ de $- 58 u$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24$

Paso 8.1.2

Reescribe $- 58$ como $- 4$ más $- 54$

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} + (- 4 - 54) u + 24$

Paso 8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24$

Paso 8.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24$

Paso 8.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + u (9 u - 4) - 6 (9 u - 4)$

Paso 8.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 u - 4$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 u - 4) (u - 6)$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 x^{2} - 4) (x^{2} - 6)$

Paso 10

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 4) (x^{2} - 6)$

Paso 11

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 6)$

Paso 12

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 x$ y $b = 2$ .

$f (x) = - x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$

Paso 13

Factoriza $(3 x + 2) (3 x - 2)$ de $- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

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Paso 13.1

Factoriza $(3 x + 2) (3 x - 2)$ de $- x (3 x + 2) (3 x - 2)$ .

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$

Paso 13.2

Factoriza $(3 x + 2) (3 x - 2)$ de $(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) (- x + x^{2} - 6)$

Paso 14

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) (- u + u^{2} - 6)$

Paso 15

Factoriza $- u + u^{2} - 6$ con el método AC.

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Paso 15.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 15.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) ((u - 3) (u + 2))$

Paso 16

Factoriza.

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Paso 16.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) ((x - 3) (x + 2))$

Paso 16.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = (3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2)$