Trigonometría Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 4 x^{2} + 36 x - 45$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$f (x) = - 4 x^{3} + 36 x + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Paso 2

Factoriza $- 4 x$ de $- 4 x^{3} + 36 x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $- 4 x$ de $- 4 x^{3}$ .

$f (x) = - 4 x \cdot x^{2} + 36 x + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Paso 2.2

Factoriza $- 4 x$ de $36 x$ .

$f (x) = - 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 9 + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Paso 2.3

Factoriza $- 4 x$ de $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 9)$ .

$f (x) = - 4 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Paso 3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (x) = - 4 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Paso 4

Factoriza.

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Paso 4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$f (x) = - 4 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Paso 5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} - 45$

Paso 6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 4 u - 45$

Paso 7

Factoriza $u^{2} - 4 u - 45$ con el método AC.

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Paso 7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 45$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 9, 5$

Paso 7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u + 5)$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} + 5)$

Paso 9

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 5)$

Paso 10

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 5)$

Paso 11

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $- 4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 5)$ .

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Paso 11.1

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $- 4 x (x + 3) (x - 3)$ .

$f (x) = (x + 3) (x - 3) (- 4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 5)$

Paso 11.2

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $(x + 3) (x - 3) (- 4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 5)$ .

$f (x) = (x + 3) (x - 3) (- 4 x + x^{2} + 5)$

Paso 12

Reordena los términos.

$f (x) = (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 4 x + 5)$