Trigonometría Ejemplos

$\log_{6} (2 x - 1) + \log_{6} (4 x + 3) = 2$

Step 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} ((2 x - 1) (4 x + 3)) = 2$

Expande $(2 x - 1) (4 x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{6} (2 x (4 x + 3) - 1 (4 x + 3)) = 2$

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{6} (2 x (4 x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x + 3)) = 2$

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{6} (2 x (4 x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\log_{6} (2 \cdot (4 x \cdot x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Mueve $x$ .

$\log_{6} (2 \cdot (4 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{6} (2 \cdot (4 x^{2}) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Multiplica $2$ por $4$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Multiplica $3$ por $2$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 4 x - 1 \cdot 3) = 2$

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 4 x - 3) = 2$

Resta $4 x$ de $6 x$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 2 x - 3) = 2$

Step 2

Reescribe $\log_{6} (8 x^{2} + 2 x - 3) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$6^{2} = 8 x^{2} + 2 x - 3$

Step 3

Resuelve $x$

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Reescribe la ecuación como $8 x^{2} + 2 x - 3 = 6^{2}$ .

$8 x^{2} + 2 x - 3 = 6^{2}$

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$8 x^{2} + 2 x - 3 = 36$

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Resta $36$ de ambos lados de la ecuación.

$8 x^{2} + 2 x - 3 - 36 = 0$

Resta $36$ de $- 3$ .

$8 x^{2} + 2 x - 39 = 0$

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Sustituye los valores $a = 8$ , $b = 2$ y $c = - 39$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (8 \cdot - 39)}}{2 \cdot 8}$

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8 \cdot - 39}}{2 \cdot 8}$

Multiplica $- 4 \cdot 8 \cdot - 39$ .

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Multiplica $- 4$ por $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 32 \cdot - 39}}{2 \cdot 8}$

Multiplica $- 32$ por $- 39$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 1248}}{2 \cdot 8}$

Suma $4$ y $1248$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{1252}}{2 \cdot 8}$

Reescribe $1252$ como $2^{2} \cdot 313$ .

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Factoriza $4$ de $1252$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (313)}}{2 \cdot 8}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 313}}{2 \cdot 8}$

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{2 \cdot 8}$

Multiplica $2$ por $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{16}$

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{16}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{313}}{8}$

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}, - \frac{1 + \sqrt{313}}{8}$

Step 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{6} (2 x - 1) + \log_{6} (4 x + 3) = 2$ sea verdadera.

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}$

Step 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}$

Forma decimal:

$x = 2.08647575 \dots$