Trigonometría Ejemplos

$\csc^{2} (x) - \csc (x) - 2 = 0$

Step 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Sea $u = \csc (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\csc (x)$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Factoriza $u^{2} - u - 2$ con el método AC.

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Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\csc (x)$ .

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$

Step 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\csc (x) - 2 = 0$

$\csc (x) + 1 = 0$

Step 3

Establece $\csc (x) - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\csc (x) - 2$ igual a $0$ .

$\csc (x) - 2 = 0$

Resuelve $\csc (x) - 2 = 0$ en $x$ .

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Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\csc (x) = 2$

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (2)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccsc (2)$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

La cosecante es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

Establece $\csc (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\csc (x) + 1$ igual a $0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

Resuelve $\csc (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\csc (x) = - 1$

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccsc (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Obtén el período de $\csc (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

El período de la función $\csc (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$