Trigonometría Ejemplos

{csc}^{2} (x) - csc (x) - 2 = 0

$\csc^{2} (x) - \csc (x) - 2 = 0$

Step 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Sea

u = csc (x)

$u = \csc (x)$ . Sustituye

u

$u$ por todos los casos de

csc (x)

$\csc (x)$ .

u^{2} - u - 2 = 0

$u^{2} - u - 2 = 0$

Factoriza

u^{2} - u - 2

$u^{2} - u - 2$ con el método AC.

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Considera la forma

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea

c

$c$ y cuya suma sea

b

$b$ . En este caso, cuyo producto es

- 2

$- 2$ y cuya suma es

- 1

$- 1$ .

- 2, 1

$- 2, 1$

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

(u - 2) (u + 1) = 0

$(u - 2) (u + 1) = 0$

(u - 2) (u + 1) = 0

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Reemplaza todos los casos de

u

$u$ con

csc (x)

$\csc (x)$ .

(csc (x) - 2) (csc (x) + 1) = 0

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$

(csc (x) - 2) (csc (x) + 1) = 0

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$

Step 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a

0

$0$ , la expresión completa será igual a

0

$0$ .

csc (x) - 2 = 0

$\csc (x) - 2 = 0$

csc (x) + 1 = 0

$\csc (x) + 1 = 0$

Step 3

Establece

csc (x) - 2

$\csc (x) - 2$ igual a

0

$0$ y resuelve

x

$x$ .

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Establece

csc (x) - 2

$\csc (x) - 2$ igual a

0

$0$ .

csc (x) - 2 = 0

$\csc (x) - 2 = 0$

Resuelve

csc (x) - 2 = 0

$\csc (x) - 2 = 0$ en

$x$ .

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Suma

$2$ a ambos lados de la ecuación.

$\csc (x) = 2$

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer

$x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (2)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de

$arccsc (2)$ es

$\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

La cosecante es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de

$π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Simplifica

$π - \frac{π}{6}$ .

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Para escribir

$π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina

$π$ y

$\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Mueve

$6$ a la izquierda de

$π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Resta

$π$ de

$6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Obtén el período de

$\csc (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza

$b$ con

$1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre

$0$ y

$1$ es

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide

$2 π$ por

$1$ .

$2 π$

El período de la función

$\csc (x)$ es

$2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada

$2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

Step 4

Establece

$\csc (x) + 1$ igual a

$0$ y resuelve

$x$ .

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Establece

$\csc (x) + 1$ igual a

$0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

Resuelve

$\csc (x) + 1 = 0$ en

$x$ .

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Resta

$1$ de ambos lados de la ecuación.

$\csc (x) = - 1$

Calcula la inversa de la cosecante de ambos lados de la ecuación para extraer

$x$ del interior de la cosecante.

$x = arccsc (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de

$arccsc (- 1)$ es

$- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from

$2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to

$π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta

$2 π$ de

$2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

El ángulo resultante de

$\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que

$2 π$ y coterminal con

$2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Obtén el período de

$\csc (x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza

$b$ con

$1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre

$0$ y

$1$ es

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide

$2 π$ por

$1$ .

$2 π$

Suma

$2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma

$2 π$ y

$- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Para escribir

$2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina

$2 π$ y

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica

$2$ por

$2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Resta

$π$ de

$4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

El período de la función

$\csc (x)$ es

$2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada

$2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

Step 5

La solución final comprende todos los valores que hacen

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero

$n$

Step 6

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero

$n$