Trigonometría Ejemplos

$\cot^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

Step 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Reescribe $\cot^{4} (x)$ como ${(\cot^{2} (x))}^{2}$ .

${(\cot^{2} (x))}^{2} - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

Sea $u = \cot^{2} (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\cot^{2} (x)$ .

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

Factoriza $u^{2} - 4 u + 3$ con el método AC.

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Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 3, - 1$

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cot^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$

Step 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

Step 3

Establece $\cot^{2} (x) - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\cot^{2} (x) - 3$ igual a $0$ .

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

Resuelve $\cot^{2} (x) - 3 = 0$ en $x$ .

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Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$\cot^{2} (x) = 3$

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\cot (x) = \pm \sqrt{3}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cot (x) = \sqrt{3}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cot (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cot (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Resuelve $x$ en $\cot (x) = \sqrt{3}$ .

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Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (\sqrt{3})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccot (\sqrt{3})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{6}$

Simplifica $π + \frac{π}{6}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Suma $6 π$ y $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Obtén el período de $\cot (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Resuelve $x$ en $\cot (x) = - \sqrt{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (- \sqrt{3})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccot (- \sqrt{3})$ es $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{5 π}{6} - π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Suma $2 π$ a $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6} - π + 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{11 π}{6}$ es positivo y coterminal con $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Obtén el período de $\cot (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida las soluciones.

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Consolida $\frac{π}{6} + π n$ y $\frac{7 π}{6} + π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida $\frac{5 π}{6} + π n$ y $\frac{11 π}{6} + π n$ en $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

Establece $\cot^{2} (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\cot^{2} (x) - 1$ igual a $0$ .

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

Resuelve $\cot^{2} (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\cot^{2} (x) = 1$

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\cot (x) = \pm \sqrt{1}$

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\cot (x) = \pm 1$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\cot (x) = 1$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\cot (x) = - 1$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\cot (x) = 1, - 1$

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cot (x) = 1$

$\cot (x) = - 1$

Resuelve $x$ en $\cot (x) = 1$ .

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Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccot (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Combina fracciones.

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Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Obtén el período de $\cot (x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Resuelve $x$ en $\cot (x) = - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $arccot (- 1)$ es $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

Toca para ver más pasos...

Suma $2 π$ a $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{4}$ es positivo y coterminal con $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Obtén el período de $\cot (x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$