Trigonometría Ejemplos

$\cos^{2} (x) + 6 \cos (x) + 4 = 0$

Step 1

Sustituye $u$ por $\cos (x)$ .

${(u)}^{2} + 6 (u) + 4 = 0$

Step 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Step 3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 6$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Step 4

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2 \cdot 1}$

Resta $16$ de $36$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Factoriza $4$ de $20$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Simplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 3 \pm \sqrt{5}$

Step 5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = - 3 + \sqrt{5}, - 3 - \sqrt{5}$

Step 6

Sustituye $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = - 3 + \sqrt{5}, - 3 - \sqrt{5}$

Step 7

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = - 3 + \sqrt{5}$

$\cos (x) = - 3 - \sqrt{5}$

Step 8

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - 3 + \sqrt{5}$ .

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Convierte el lado derecho de la ecuación a su equivalente decimal.

$\cos (x) = - 0.76393202$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- 0.76393202)$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arccos (- 0.76393202)$ .

$x = 2.44018101$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 2.44018101$

Resuelve $x$

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Elimina los paréntesis.

$x = 2 (3.14159265) - 2.44018101$

Simplifica $2 (3.14159265) - 2.44018101$ .

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Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.44018101$

Resta $2.44018101$ de $6.2831853$ .

$x = 3.84300429$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2.44018101 + 2 π n, 3.84300429 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 9

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - 3 - \sqrt{5}$ .

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Convierte el lado derecho de la ecuación a su equivalente decimal.

$\cos (x) = - 5.23606797$

El rango del coseno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 5.23606797$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 10

Enumera todas las soluciones.

$x = 2.44018101 + 2 π n, 3.84300429 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$