Trigonometría Ejemplos

$4^{2 x} - 63 \cdot 4^{x} - 64 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $4^{2 x}$ como ${(4^{x})}^{2}$ .

${(4^{x})}^{2} - 63 \cdot 4^{x} - 64 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = 4^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $4^{x}$ .

$u^{2} - 63 u - 64 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $u^{2} - 63 u - 64$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 64$ y cuya suma es $- 63$ .

$- 64, 1$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 64) (u + 1) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4^{x}$ .

$(4^{x} - 64) (4^{x} + 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4^{x} - 64 = 0$

$4^{x} + 1 = 0$

Paso 3

Establece $4^{x} - 64$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $4^{x} - 64$ igual a $0$ .

$4^{x} - 64 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $4^{x} - 64 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $64$ a ambos lados de la ecuación.

$4^{x} = 64$

Paso 3.2.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$4^{x} = 4^{3}$

Paso 3.2.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 3$

Paso 4

Establece $4^{x} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $4^{x} + 1$ igual a $0$ .

$4^{x} + 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $4^{x} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$4^{x} = - 1$

Paso 4.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (4^{x}) = \ln (- 1)$

Paso 4.2.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 1)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 4.2.4

No hay soluciones para $4^{x} = - 1$

No hay solución

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4^{x} - 64) (4^{x} + 1) = 0$ verdadera.

$x = 3$