Trigonometría Ejemplos

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 6 \cos (x) + 9 \sin (x) \cos (x)$

Step 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Resta $6 \cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$

Resta $9 \sin (x) \cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Step 2

Reemplaza $3 \sin^{2} (x)$ con $3 (1 - \cos^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Step 3

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Step 4

Reordena el polinomio.

$- 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + 3 = 0$

Step 5

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $- 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + 3$ .

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Simplifica con la obtención del factor común.

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Mueve $3$ .

$- 3 \cos^{2} (x) + 3 - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Reordena $- 3 \cos^{2} (x)$ y $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Factoriza $3$ de $3$ .

$3 (1) - 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Factoriza $3$ de $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 (1) + 3 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Factoriza $3$ de $3 (1) + 3 (- \cos^{2} (x))$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Aplica la identidad pitagórica.

$3 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Step 6

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Agrega paréntesis.

$3 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 (\sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) = 0$

Sea $u = \cos (x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\cos (x)$ .

$3 \sin^{2} (x) - 6 u - 9 u \sin (x) + 2 \sin (x) = 0$

Reordena los términos.

$- 9 u \sin (x) - 6 u + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(- 9 u \sin (x) - 6 u) + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$3 u (- 3 \sin (x) - 2) - \sin (x) (- 3 \sin (x) - 2) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 3 \sin (x) - 2$ .

$(- 3 \sin (x) - 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Factoriza $- 1$ de $- 3 \sin (x) - 2$ .

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Factoriza $- 1$ de $- 3 \sin (x)$ .

$(- (3 \sin (x)) - 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$(- (3 \sin (x)) - 1 \cdot 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Factoriza $- 1$ de $- (3 \sin (x)) - 1 (2)$ .

$- (3 \sin (x) + 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$- (3 \sin (x) + 2) (3 \cos (x) - \sin (x)) = 0$

Step 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 \sin (x) + 2 = 0$

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$

Step 8

Establece $3 \sin (x) + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $3 \sin (x) + 2$ igual a $0$ .

$3 \sin (x) + 2 = 0$

Resuelve $3 \sin (x) + 2 = 0$ en $x$ .

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Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 \sin (x) = - 2$

Divide cada término en $3 \sin (x) = - 2$ por $3$ y simplifica.

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Divide cada término en $3 \sin (x) = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 2}{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 2}{3}$

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2}{3}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (x) = - \frac{2}{3}$

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{2}{3})$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arcsin (- \frac{2}{3})$ .

$x = - 0.72972765$

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265 - 2 π$

El ángulo resultante de $3.8713203$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$ .

$x = 3.8713203$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- 0.72972765$ para obtener el ángulo positivo.

$- 0.72972765 + 2 π$

Resta $0.72972765$ de $2 π$ .

$5.55345765$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = 5.55345765$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 9

Establece $3 \cos (x) - \sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $3 \cos (x) - \sin (x)$ igual a $0$ .

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$

Resuelve $3 \cos (x) - \sin (x) = 0$ en $x$ .

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Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Divide $3$ por $1$ .

$3 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Separa las fracciones.

$3 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$3 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Divide $- 1$ por $1$ .

$3 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Separa las fracciones.

$3 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$3 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Divide $0$ por $1$ .

$3 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$3 - \tan (x) = 0$

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- \tan (x) = - 3$

Divide cada término en $- \tan (x) = - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Divide cada término en $- \tan (x) = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Simplifica el lado izquierdo.

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La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Divide $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 3}{- 1}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $- 3$ por $- 1$ .

$\tan (x) = 3$

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (3)$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arctan (3)$ .

$x = 1.24904577$

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Resuelve $x$

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Elimina los paréntesis.

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

Elimina los paréntesis.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Suma $3.14159265$ y $1.24904577$ .

$x = 4.39063842$

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (3 \sin (x) + 2) (3 \cos (x) - \sin (x)) = 0$ verdadera.

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n, 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 11

Consolida $1.24904577 + π n$ y $4.39063842 + π n$ en $1.24904577 + π n$ .

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n, 1.24904577 + π n$ , para cualquier número entero $n$