Trigonometría Ejemplos

$\frac{1}{1 - \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Step 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $\frac{1}{1 - \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)}$ .

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Para escribir $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Para escribir $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Multiplica $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ por $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Reordena los factores de $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + \cos (x) + 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Simplifica el numerador.

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Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 + \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Resta $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$\frac{2 + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{2}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Step 2

Multiplica ambos lados por $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

$\frac{2}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))) = 2 \csc^{2} (x) ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Step 3

Simplifica.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))) = 2 \csc^{2} (x) ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Reescribe la expresión.

$2 = 2 \csc^{2} (x) ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $2 \csc^{2} (x) ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$ .

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Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$2 = 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Combina fracciones.

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Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$2 = 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 = 2 \frac{1}{\sin^{2} (x)} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Combina $2$ y $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Expande $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x)))$

Aplica la propiedad distributiva.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x)))$

Aplica la propiedad distributiva.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)))$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $1$ por $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)))$

Multiplica $- \cos (x)$ por $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)))$

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x)))$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos (x) \cos (x))$

Multiplica $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)))$

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)))$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1})$

Suma $1$ y $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x))$

Suma $- \cos (x)$ y $\cos (x)$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 + 0 - \cos^{2} (x))$

Suma $1$ y $0$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos^{2} (x))$

Aplica la identidad pitagórica.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x)$

Cancela el factor común de $\sin^{2} (x)$ .

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Cancela el factor común.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x)$

Reescribe la expresión.

$2 = 2$

Step 4

Como $2 = 2$ , la ecuación siempre será verdadera para cualquier valor de $x$ .

Todos los números reales

Step 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Todos los números reales

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$