Trigonometría Ejemplos

$z^{4} + 4 \sqrt{2} z^{2} + 16 = 0$

Step 1

Sustituye $u = z^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} + 4 \sqrt{2} u + 16 = 0$

$u = z^{2}$

Step 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Step 3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4 \sqrt{2}$ y $c = 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Step 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Aplica la regla del producto a $4 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Cancela el factor común.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Reescribe la expresión.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Evalúa el exponente.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $16$ por $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Toca para ver más pasos...

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 64}}{2 \cdot 1}$

Resta $64$ de $32$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $- 32$ como $- 1 (32)$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $\sqrt{- 1 (32)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Factoriza $16$ de $32$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

Simplifica $\frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ .

$u = - 2 \sqrt{2} \pm 2 i \sqrt{2}$

Step 5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Step 6

Sustituye el valor real de $u = z^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

${(z^{2})}^{1} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Step 7

Resuelve la primera ecuación para $z$ .

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

Step 8

Resuelve la ecuación en $z$ .

Toca para ver más pasos...

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$z = \pm \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$z = - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Step 9

Resuelve la segunda ecuación para $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Step 10

Resuelve la ecuación en $z$ .

Toca para ver más pasos...

Elimina los paréntesis.

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$z = \pm \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$z = - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Step 11

La solución a $z^{4} + 4 \sqrt{2} z^{2} + 16 = 0$ es $z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$ .

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$