Trigonometría Ejemplos

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$

Step 1

Como el radical está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} = \tan (x)$

Step 2

Multiplicación cruzada.

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Aplica la multiplicación cruzada; para ello, haz que el producto del numerador del lado derecho y el denominador del lado izquierdo sean iguales al producto del numerador del lado izquierdo y el denominador del lado derecho.

$\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}) = \sin (x)$

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica $\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)})$ .

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Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1 - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1^{2} - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \sin (x)$

Combina $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ y $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{\cos (x)} = \sin (x)$

Separa las fracciones.

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sin (x)$

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \tan (x) = \sin (x)$

Divide $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ por $1$ .

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x) = \sin (x)$

Step 3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Step 4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ como ${((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica ${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2}$ .

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Expande $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Aplica la propiedad distributiva.

${({(1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Aplica la propiedad distributiva.

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Aplica la propiedad distributiva.

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Simplifica y combina los términos similares.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $1$ por $1$ .

${({(1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Multiplica $- \sin (x)$ por $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin (x) \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Multiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Suma $1$ y $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Suma $- \sin (x)$ y $\sin (x)$ .

${({(1 + 0 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Suma $1$ y $0$ .

${({(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Aplica la identidad pitagórica.

${({(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Multiplica los exponentes en ${(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

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Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Reescribe la expresión.

${(\cos^{1} (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Simplifica.

${(\cos (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Reordena $\cos (x)$ y $\tan (x)$ .

${(\tan (x) \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Reescribe $\cos (x) \tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Cancela los factores comunes.

$\sin^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

Step 5

Resuelve $x$

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Como los exponentes son iguales, las bases de los exponentes en ambos lados de la ecuación deben ser iguales.

$| \sin (x) | = | \sin (x) |$

Resuelve $x$

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Reescribe la ecuación de valor absoluto como cuatro ecuaciones sin barras del valor absoluto.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

$- \sin (x) = \sin (x)$

$- \sin (x) = - \sin (x)$

Después de simplificar, solo hay dos ecuaciones únicas por resolver.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

Resuelve $\sin (x) = \sin (x)$ en $x$ .

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Para que las dos funciones sean iguales, los argumentos de cada una deben ser iguales.

$x = x$

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x - x = 0$

Resta $x$ de $x$ .

$0 = 0$

Como $0 = 0$ , la ecuación siempre será verdadera.

Todos los números reales

Resuelve $\sin (x) = - \sin (x)$ en $x$ .

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Mueve todos los términos que contengan $\sin (x)$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Suma $\sin (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) + \sin (x) = 0$

Suma $\sin (x)$ y $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) = 0$

Divide cada término en $2 \sin (x) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \sin (x) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $2$ .

$\sin (x) = 0$

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

Consolida las respuestas.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$