Trigonometría Ejemplos

$(h^{2} - 16 h + 64) + (k^{2} - 12 k + 36) = 100$

Paso 1

Suma $64$ y $36$ .

$h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k + 100 = 100$

Paso 2

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 2.1

Resta $100$ de ambos lados de la ecuación.

$h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k + 100 - 100 = 0$

Paso 2.2

Combina los términos opuestos en $h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k + 100 - 100$ .

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Paso 2.2.1

Resta $100$ de $100$ .

$h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k + 0 = 0$

Paso 2.2.2

Suma $h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k$ y $0$ .

$h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k = 0$

Paso 3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 16$ y $c = k^{2} - 12 k$ en la fórmula cuadrática y resuelve $h$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (k^{2} - 12 k))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot (k^{2} - 12 k)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot (k^{2} - 12 k)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 k^{2} - 4 (- 12 k)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4

Multiplica $- 12$ por $- 4$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 k^{2} + 48 k}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5

Reordena los términos.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{- 4 k^{2} + 48 k + 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6

Reescribe $- 4 k^{2} + 48 k + 256$ en forma factorizada.

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Paso 5.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4 k^{2} + 48 k + 256$ .

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Paso 5.1.6.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 k^{2}$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2}) + 48 k + 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.1.2

Factoriza $4$ de $48 k$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2}) + 4 (12 k) + 256}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.1.3

Factoriza $4$ de $256$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2}) + 4 (12 k) + 4 (64)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.1.4

Factoriza $4$ de $4 (- k^{2}) + 4 (12 k)$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} + 12 k) + 4 (64)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.1.5

Factoriza $4$ de $4 (- k^{2} + 12 k) + 4 (64)$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} + 12 k + 64)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 64 = - 64$ y cuya suma es $b = 12$ .

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Paso 5.1.6.2.1.1

Factoriza $12$ de $12 k$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} + 12 (k) + 64)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.1.2

Reescribe $12$ como $- 4$ más $16$

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} + (- 4 + 16) k + 64)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} - 4 k + 16 k + 64)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 ((- k^{2} - 4 k) + 16 k + 64)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (k (- k - 4) - 16 (- k - 4))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- k - 4$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 ((- k - 4) (k - 16))}}{2 \cdot 1}$

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k - 4) (k - 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.7

Reescribe $4 (- k - 4) (k - 16)$ como $2^{2} ((- k - 4) (k - 16))$ .

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Paso 5.1.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} (- k - 4) (k - 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.7.2

Agrega paréntesis.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} ((- k - 4) (k - 16))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$h = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$h = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}}{2}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{16 \pm 2 \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}}{2}$ .

$h = 8 \pm \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$h = 8 + \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}$

$h = 8 - \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}$