Trigonometría Ejemplos

$\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$

Step 1

Resta $\sin (2 x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{2 \cos (x)} = - \sin (2 x)$

Step 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 \cos (x)}}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Step 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 \cos (x)}$ como ${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Simplifica ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Multiplica los exponentes en ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Reescribe la expresión.

${(2 \cos (x))}^{1} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Simplifica.

$2 \cos (x) = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica ${(- \sin (2 x))}^{2}$ .

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Aplica la regla del producto a $- \sin (2 x)$ .

$2 \cos (x) = {(- 1)}^{2} \sin^{2} (2 x)$

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$2 \cos (x) = 1 \sin^{2} (2 x)$

Multiplica $\sin^{2} (2 x)$ por $1$ .

$2 \cos (x) = \sin^{2} (2 x)$

Step 4

Resuelve $x$

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Resta $\sin^{2} (2 x)$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Reemplaza $\sin^{2} (2 x)$ con $1 - \cos^{2} (2 x)$ .

$2 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (2 x)) = 0$

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Aplica la identidad pitagórica.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Simplifica cada término.

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Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 \cos (x) - {(2 \sin (x) \cos (x))}^{2} = 0$

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Aplica la regla del producto a $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) - ({(2 \sin (x))}^{2} \cos^{2} (x)) = 0$

Aplica la regla del producto a $2 \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2^{2} \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$2 \cos (x) - (4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Factoriza $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

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Factoriza $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Factoriza $2 \cos (x)$ de $- 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

Factoriza $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Establece $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ igual a $0$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Resuelve $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$ en $x$ .

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Reemplaza $\sin^{2} (x)$ con $1 - \cos^{2} (x)$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 (1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

Multiplica $1 - \cos^{2} (x)$ por $1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ sumando los exponentes.

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Mueve $\cos (x)$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Multiplica $\cos (x)$ por $\cos^{2} (x)$ .

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Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 2} = 0$

Suma $1$ y $2$ .

$\cos (x) - \cos^{3} (x) = 0$

Reordena el polinomio.

$- \cos^{3} (x) + \cos (x) = 0$

Sustituye $u$ por $\cos (x)$ .

$- {(u)}^{3} + u = 0$

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Factoriza $- u$ de $- u^{3} + u$ .

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Factoriza $- u$ de $- u^{3}$ .

$- u \cdot u^{2} + u = 0$

Reescribe $u$ como $1 u$ .

$- u \cdot u^{2} + 1 u = 0$

Factoriza $- u$ de $1 u$ .

$- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1 = 0$

Factoriza $- u$ de $- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1$ .

$- u (u^{2} - 1) = 0$

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- u (u^{2} - 1^{2}) = 0$

Factoriza.

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Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

$- u ((u + 1) (u - 1)) = 0$

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- u (u + 1) (u - 1) = 0$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u = 0$

$u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Establece $u$ igual a $0$ .

$u = 0$

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

La solución final comprende todos los valores que hacen $- u (u + 1) (u - 1) = 0$ verdadera.

$u = 0, - 1, 1$

Sustituye $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = 0, - 1, 1$

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) = - 1$

$\cos (x) = 1$

Resuelve $x$ en $\cos (x) = 0$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$x = π$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - π$

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Resuelve $x$ en $\cos (x) = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

Consolida las respuestas.

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Consolida $\frac{π}{2} + 2 π n$ y $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Consolida $\frac{π}{2} + π n$ y $\frac{π n}{2}$ en $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

Verifica cada una de las soluciones mediante su sustitución en $\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$ y resolución.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$