Trigonometría Ejemplos

$\sin (2 x) = \cos (3 x)$

Step 1

Resta $\cos (3 x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (2 x) - \cos (3 x) = 0$

Step 2

Simplifica cada término.

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Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (3 x) = 0$

Usa la razón del ángulo triple para transformar $\cos (3 x)$ a $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x)) - (- 3 \cos (x)) = 0$

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) - (- 3 \cos (x)) = 0$

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

Step 3

Factoriza $\cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ .

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Factoriza $\cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

Factoriza $\cos (x)$ de $- 4 \cos^{3} (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + 3 \cos (x) = 0$

Factoriza $\cos (x)$ de $3 \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x))$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$

Step 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Step 5

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

Establece $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ igual a $0$ .

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Resuelve $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$ en $x$ .

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Reemplaza $- 4 \cos^{2} (x)$ con $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Simplifica cada término.

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Aplica la propiedad distributiva.

$2 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$2 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$2 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Suma $- 4$ y $3$ .

$2 \sin (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Reordena el polinomio.

$4 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = 2$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Multiplica $- 4$ por $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Suma $4$ y $16$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Factoriza $4$ de $20$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Multiplica $2$ por $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{4}$

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ .

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Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = \frac{π}{10}$

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 π - \frac{π}{10} + π$ .

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{9 π}{10}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π - \frac{π}{10} + π$ .

$x = \frac{9 π}{10}$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Evalúa $\arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = - \frac{3 π}{10}$

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

Toca para ver más pasos...

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ .

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{13 π}{10}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ .

$x = \frac{13 π}{10}$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- \frac{3 π}{10}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{3 π}{10} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Combina $2 π$ y $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 10 - 3 π}{10}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $10$ por $2$ .

$\frac{20 π - 3 π}{10}$

Resta $3 π$ de $20 π$ .

$\frac{17 π}{10}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{17 π}{10}$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 8

Consolida $\frac{π}{2} + 2 π n$ y $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$