Trigonometría Ejemplos

$\cos (2 x) + \cos (x) = 2$

Step 1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (2 x) + \cos (x) - 2 = 0$

Step 2

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (x) - 2 = 0$

Resta $2$ de $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 3 + \cos (x) = 0$

Step 3

Factoriza por agrupación.

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Reordena los términos.

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 3 = 0$

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Multiplica por $1$ .

$2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 3 = 0$

Reescribe $1$ como $- 2$ más $3$

$2 \cos^{2} (x) + (- 2 + 3) \cos (x) - 3 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 3 \cos (x) - 3 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 3 \cos (x) - 3 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 \cos (x) (\cos (x) - 1) + 3 (\cos (x) - 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $\cos (x) - 1$ .

$(\cos (x) - 1) (2 \cos (x) + 3) = 0$

Step 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

$2 \cos (x) + 3 = 0$

Step 5

Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Resuelve $\cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = 1$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

Establece $2 \cos (x) + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $2 \cos (x) + 3$ igual a $0$ .

$2 \cos (x) + 3 = 0$

Resuelve $2 \cos (x) + 3 = 0$ en $x$ .

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Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) = - 3$

Divide cada término en $2 \cos (x) = - 3$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \cos (x) = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 3}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x) = - \frac{3}{2}$

El rango del coseno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- \frac{3}{2}$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\cos (x) - 1) (2 \cos (x) + 3) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 8

Consolida las respuestas.

$x = 2 π n$ , para cualquier número entero $n$