Trigonometría Ejemplos

$\cos (2 x) + 5 \sin (x) = - 2$

Step 1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (2 x) + 5 \sin (x) + 2 = 0$

Step 2

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 2 = 0$

Suma $1$ y $2$ .

$3 - 2 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) = 0$

Step 3

Factoriza por agrupación.

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Reordena los términos.

$- 2 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 3 = 0$

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 2 \cdot 3 = - 6$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Factoriza $5$ de $5 \sin (x)$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 3 = 0$

Reescribe $5$ como $- 1$ más $6$

$- 2 \sin^{2} (x) + (- 1 + 6) \sin (x) + 3 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) + 6 \sin (x) + 3 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- 2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) + 6 \sin (x) + 3 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\sin (x) (- 2 \sin (x) - 1) - 3 (- 2 \sin (x) - 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 2 \sin (x) - 1$ .

$(- 2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 3) = 0$

Step 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- 2 \sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) - 3 = 0$

Step 5

Establece $- 2 \sin (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $- 2 \sin (x) - 1$ igual a $0$ .

$- 2 \sin (x) - 1 = 0$

Resuelve $- 2 \sin (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin (x) = 1$

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Divide cada término en $- 2 \sin (x) = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $- 2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 2}$

Simplifica el lado derecho.

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Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 6

Establece $\sin (x) - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\sin (x) - 3$ igual a $0$ .

$\sin (x) - 3 = 0$

Resuelve $\sin (x) - 3 = 0$ en $x$ .

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Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = 3$

El rango del seno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $3$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Step 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(- 2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 3) = 0$ verdadera.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$