Trigonometría Ejemplos

$\cos (3 x - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$3 x - \frac{π}{3} = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Step 2

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{4}$

Step 3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Suma $\frac{π}{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = \frac{π}{4} + \frac{π}{3}$

Para escribir $\frac{π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Para escribir $\frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Multiplica $4$ por $3$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Multiplica $3$ por $4$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x = \frac{π \cdot 3 + π \cdot 4}{12}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$3 x = \frac{3 \cdot π + π \cdot 4}{12}$

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$3 x = \frac{3 π + 4 \cdot π}{12}$

Suma $3 π$ y $4 π$ .

$3 x = \frac{7 π}{12}$

Step 4

Divide cada término en $3 x = \frac{7 π}{12}$ por $3$ y simplifica.

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Divide cada término en $3 x = \frac{7 π}{12}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{12}}{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{12}}{3}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{12}}{3}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{7 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$

Multiplica $\frac{7 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Multiplica $\frac{7 π}{12}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{12 \cdot 3}$

Multiplica $12$ por $3$ .

$x = \frac{7 π}{36}$

Step 5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$3 x - \frac{π}{3} = 2 π - \frac{π}{4}$

Step 6

Resuelve $x$

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Simplifica $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{3} = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $4$ por $2$ .

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{8 π - π}{4}$

Resta $π$ de $8 π$ .

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{7 π}{4}$

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Suma $\frac{π}{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = \frac{7 π}{4} + \frac{π}{3}$

Para escribir $\frac{7 π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Para escribir $\frac{π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Multiplica $\frac{7 π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Multiplica $4$ por $3$ .

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Multiplica $3$ por $4$ .

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 x = \frac{7 π \cdot 3 + π \cdot 4}{12}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $3$ por $7$ .

$3 x = \frac{21 π + π \cdot 4}{12}$

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$3 x = \frac{21 π + 4 \cdot π}{12}$

Suma $21 π$ y $4 π$ .

$3 x = \frac{25 π}{12}$

Divide cada término en $3 x = \frac{25 π}{12}$ por $3$ y simplifica.

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Divide cada término en $3 x = \frac{25 π}{12}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{25 π}{12}}{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{25 π}{12}}{3}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{25 π}{12}}{3}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{25 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$

Multiplica $\frac{25 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Multiplica $\frac{25 π}{12}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{25 π}{12 \cdot 3}$

Multiplica $12$ por $3$ .

$x = \frac{25 π}{36}$

Step 7

Obtén el período de $\cos (3 x - \frac{π}{3})$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $3$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Step 8

El período de la función $\cos (3 x - \frac{π}{3})$ es $\frac{2 π}{3}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{2 π}{3}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{7 π}{36} + \frac{2 π n}{3}, \frac{25 π}{36} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$