Trigonometría Ejemplos

$5 \sin (3 x) + 6 \cos (3 x) = 1$

Step 1

Usa la identidad para resolver la ecuación. En esta identidad, $θ$ representa el ángulo creado al trazar el punto $(a, b)$ en una gráfica y, por lo tanto, se puede obtener con $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ donde $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ y $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Step 2

Establece la ecuación para obtener el valor de $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{6}{5})$

Step 3

Evalúa $\tan^{-1} (\frac{6}{5})$ .

$θ = 0.87605805$

Step 4

Resuelve para obtener el valor de $R$ .

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Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$R = \sqrt{25 + {(6)}^{2}}$

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$R = \sqrt{25 + 36}$

Suma $25$ y $36$ .

$R = \sqrt{61}$

Step 5

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$(\sqrt{61}) \sin (3 x + 0.87605805) = 1$

Step 6

Divide cada término en $\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ por $\sqrt{61}$ y simplifica.

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Divide cada término en $\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ por $\sqrt{61}$ .

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $\sqrt{61}$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Divide $\sin (3 x + 0.87605805)$ por $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}}$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica $\frac{1}{\sqrt{61}}$ por $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}} \cdot \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$

Combina y simplifica el denominador.

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Multiplica $\frac{1}{\sqrt{61}}$ por $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61} \sqrt{61}}$

Eleva $\sqrt{61}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} \sqrt{61}}$

Eleva $\sqrt{61}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} {\sqrt{61}}^{1}}$

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1 + 1}}$

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{2}}$

Reescribe ${\sqrt{61}}^{2}$ como $61$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{61}$ como $61^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{(61^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Reescribe la expresión.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{1}}$

Evalúa el exponente.

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61}$

Step 7

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$3 x + 0.87605805 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$

Step 8

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$ .

$3 x + 0.87605805 = 0.12838931$

Step 9

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Resta $0.87605805$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = 0.12838931 - 0.87605805$

Resta $0.87605805$ de $0.12838931$ .

$3 x = - 0.74766873$

Step 10

Divide cada término en $3 x = - 0.74766873$ por $3$ y simplifica.

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Divide cada término en $3 x = - 0.74766873$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 0.74766873}{3}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $- 0.74766873$ por $3$ .

$x = - 0.24922291$

Step 11

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$3 x + 0.87605805 = (3.14159265) - 0.12838931$

Step 12

Resuelve $x$

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Resta $0.12838931$ de $3.14159265$ .

$3 x + 0.87605805 = 3.01320333$

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Resta $0.87605805$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = 3.01320333 - 0.87605805$

Resta $0.87605805$ de $3.01320333$ .

$3 x = 2.13714528$

Divide cada término en $3 x = 2.13714528$ por $3$ y simplifica.

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Divide cada término en $3 x = 2.13714528$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $3$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2.13714528}{3}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $2.13714528$ por $3$ .

$x = 0.71238176$

Step 13

Obtén el período de $\sin (3 x + 0.87605805)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $3$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Step 14

Suma $\frac{2 π}{3}$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Suma $\frac{2 π}{3}$ y $- 0.24922291$ para obtener el ángulo positivo.

$- 0.24922291 + \frac{2 π}{3}$

Resta $0.24922291$ de $\frac{2 π}{3}$ .

$1.84517219$

Enumera los nuevos ángulos.

$x = 1.84517219$

Step 15

El período de la función $\sin (3 x + 0.87605805)$ es $\frac{2 π}{3}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{2 π}{3}$ radianes en ambas direcciones.

$x = 0.71238176 + \frac{2 π n}{3}, 1.84517219 + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$