Trigonometría Ejemplos

$8 \sin^{2} (\frac{x}{2}) - 10 \sin (\frac{x}{2}) + 3 = 0$

Step 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Sea $u = \sin (\frac{x}{2})$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\sin (\frac{x}{2})$ .

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

Factoriza por agrupación.

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Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ y cuya suma es $b = - 10$ .

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Factoriza $- 10$ de $- 10 u$ .

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

Reescribe $- 10$ como $- 4$ más $- 6$

$8 u^{2} + (- 4 - 6) u + 3 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$8 u^{2} - 4 u - 6 u + 3 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(8 u^{2} - 4 u) - 6 u + 3 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$4 u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (4 u - 3) = 0$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (\frac{x}{2})$ .

$(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$

Step 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

Step 3

Establece $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ igual a $0$ .

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

Resuelve $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$

Divide cada término en $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

Divide $\sin (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6}$

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{π}{6}$

Simplifica el lado derecho.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Factoriza $2$ de $6$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π}{3}$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{6}$

Resuelve $x$

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Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

Reescribe la expresión.

$x = 2 (π - \frac{π}{6})$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $2 (π - \frac{π}{6})$ .

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Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

Simplifica los términos.

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Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Factoriza $2$ de $6$ .

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 (3)}$

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

Reescribe la expresión.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

Simplifica el numerador.

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Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{3}$

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Obtén el período de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

El período de la función $\sin (\frac{x}{2})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 4

Establece $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ igual a $0$ .

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

Resuelve $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$ en $x$ .

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Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$

Divide cada término en $4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ por $4$ y simplifica.

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Divide cada término en $4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ por $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $4$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

Divide $\sin (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{3}{4}$

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{3}{4})$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arcsin (\frac{3}{4})$ .

$\frac{x}{2} = 0.84806207$

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

Reescribe la expresión.

$x = 2 \cdot 0.84806207$

Simplifica el lado derecho.

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Multiplica $2$ por $0.84806207$ .

$x = 1.69612415$

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$\frac{x}{2} = (3.14159265) - 0.84806207$

Resuelve $x$

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Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Reescribe la expresión.

$x = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

Simplifica el lado derecho.

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Simplifica $2 ((3.14159265) - 0.84806207)$ .

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Resta $0.84806207$ de $3.14159265$ .

$x = 2 \cdot 2.29353057$

Multiplica $2$ por $2.29353057$ .

$x = 4.58706114$

Obtén el período de $\sin (\frac{x}{2})$ .

Toca para ver más pasos...

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

El período de la función $\sin (\frac{x}{2})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$

Step 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n, 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$