Trigonometría Ejemplos

$8 \cos^{2} (2 x) + 7 \cos (2 x) - 1 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Sea $u = \cos (2 x)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\cos (2 x)$ .

$8 u^{2} + 7 u - 1 = 0$

Factoriza por agrupación.

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Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 8 \cdot - 1 = - 8$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Factoriza $7$ de $7 u$ .

$8 u^{2} + 7 (u) - 1 = 0$

Reescribe $7$ como $- 1$ más $8$

$8 u^{2} + (- 1 + 8) u - 1 = 0$

Aplica la propiedad distributiva.

$8 u^{2} - 1 u + 8 u - 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(8 u^{2} - 1 u) + 8 u - 1 = 0$

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (8 u - 1) + 1 (8 u - 1) = 0$

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $8 u - 1$ .

$(8 u - 1) (u + 1) = 0$

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (2 x)$ .

$(8 \cos (2 x) - 1) (\cos (2 x) + 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$8 \cos (2 x) - 1 = 0$

$\cos (2 x) + 1 = 0$

Paso 3

Establece $8 \cos (2 x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $8 \cos (2 x) - 1$ igual a $0$ .

$8 \cos (2 x) - 1 = 0$

Resuelve $8 \cos (2 x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$8 \cos (2 x) = 1$

Divide cada término en $8 \cos (2 x) = 1$ por $8$ y simplifica.

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Divide cada término en $8 \cos (2 x) = 1$ por $8$ .

$\frac{8 \cos (2 x)}{8} = \frac{1}{8}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $8$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{8 \cos (2 x)}{8} = \frac{1}{8}$

Divide $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{1}{8}$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$2 x = \arccos (\frac{1}{8})$

Simplifica el lado derecho.

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Evalúa $\arccos (\frac{1}{8})$ .

$2 x = 1.44546849$

Divide cada término en $2 x = 1.44546849$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = 1.44546849$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.44546849}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.44546849}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1.44546849}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $1.44546849$ por $2$ .

$x = 0.72273424$

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 x = 2 (3.14159265) - 1.44546849$

Resuelve $x$

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Simplifica.

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Multiplica $2$ por $3.14159265$ .

$2 x = 6.2831853 - 1.44546849$

Resta $1.44546849$ de $6.2831853$ .

$2 x = 4.83771681$

Divide cada término en $2 x = 4.83771681$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = 4.83771681$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4.83771681}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4.83771681}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4.83771681}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $4.83771681$ por $2$ .

$x = 2.4188584$

Obtén el período de $\cos (2 x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\cos (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 0.72273424 + π n, 2.4188584 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Establece $\cos (2 x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Establece $\cos (2 x) + 1$ igual a $0$ .

$\cos (2 x) + 1 = 0$

Resuelve $\cos (2 x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (2 x) = - 1$

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$2 x = \arccos (- 1)$

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$2 x = π$

Divide cada término en $2 x = π$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$2 x = 2 π - π$

Resuelve $x$

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Resta $π$ de $2 π$ .

$2 x = π$

Divide cada término en $2 x = π$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 x = π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Obtén el período de $\cos (2 x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Divide $π$ por $1$ .

$π$

El período de la función $\cos (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(8 \cos (2 x) - 1) (\cos (2 x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = 0.72273424 + π n, 2.4188584 + π n, \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$