Trigonometría Ejemplos

$7 x^{2} + 6 \sqrt{3} x y + 13 y^{2} - 6 = 0$

Paso 1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2

Sustituye los valores $a = 7$ , $b = 6 \sqrt{3} y$ y $c = 13 y^{2} - 6$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(6 \sqrt{3} y)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot (13 y^{2} - 6))}}{2 \cdot 7}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Agrega paréntesis.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(6 (\sqrt{3} y))}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot (13 y^{2} - 6))}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.2

Sea $u = 7 \cdot (13 y^{2} - 6)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $7 \cdot (13 y^{2} - 6)$ .

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Paso 3.1.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $6 \sqrt{3} y$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{{(6 \sqrt{3})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.2.1.2

Aplica la regla del producto a $6 \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{6^{2} {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.2.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 {\sqrt{3}}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.2.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 \cdot (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.2.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.2.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 \cdot (3^{\frac{2}{2}} y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.2.3.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.2.3.5

Evalúa el exponente.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{36 \cdot (3 y^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.2.4

Multiplica $36$ por $3$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{108 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.3

Factoriza $4$ de $108 y^{2} - 4 u$ .

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Paso 3.1.3.1

Factoriza $4$ de $108 y^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.3.2

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.3.3

Factoriza $4$ de $4 (27 y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - u)}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 \cdot (13 y^{2} - 6)$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - (7 \cdot (13 y^{2} - 6)))}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.5

Simplifica.

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Paso 3.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - (7 (13 y^{2}) + 7 \cdot - 6))}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.5.1.2

Multiplica $13$ por $7$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - (91 y^{2} + 7 \cdot - 6))}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.5.1.3

Multiplica $7$ por $- 6$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - (91 y^{2} - 42))}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.5.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - (91 y^{2}) + 42)}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.5.1.5

Multiplica $91$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - 91 y^{2} + 42)}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.5.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 42$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (27 y^{2} - 91 y^{2} + 42)}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.5.2

Resta $91 y^{2}$ de $27 y^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (- 64 y^{2} + 42)}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.6

Factoriza $2$ de $- 64 y^{2} + 42$ .

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Paso 3.1.6.1

Factoriza $2$ de $- 64 y^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (2 (- 32 y^{2}) + 42)}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.6.2

Factoriza $2$ de $42$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (2 (- 32 y^{2}) + 2 (21))}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.6.3

Factoriza $2$ de $2 (- 32 y^{2}) + 2 (21)$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (2 (- 32 y^{2} + 21))}}{2 \cdot 7}$

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 \cdot (2 (- 32 y^{2} + 21))}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.7

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{8 (- 32 y^{2} + 21)}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.8

Reescribe $8 (- 32 y^{2} + 21)$ como $2^{2} \cdot (2 (- 32 y^{2} + 21))$ .

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Paso 3.1.8.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{4 (2) (- 32 y^{2} + 21)}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- 32 y^{2} + 21))}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.8.3

Agrega paréntesis.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (- 32 y^{2} + 21))}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm 2 \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{2 \cdot 7}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $7$ .

$x = \frac{- 6 \sqrt{3} y \pm 2 \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{14}$

Paso 3.3

Simplifica $\frac{- 6 \sqrt{3} y \pm 2 \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{14}$ .

$x = \frac{- 3 \sqrt{3} y \pm \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{7}$

Paso 4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{3 \sqrt{3} y - \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{7}$

$x = - \frac{3 \sqrt{3} y + \sqrt{2 (- 32 y^{2} + 21)}}{7}$