Trigonometría Ejemplos

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sqrt{2} \cos (x) + 2 = 0$

Step 1

Sustituye $u$ por $\cos (x)$ .

$4 {(u)}^{2} - 4 \sqrt{2} u + 2 = 0$

Step 2

Factoriza $2$ de $4 u^{2} - 4 \sqrt{2} u + 2$ .

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Factoriza $2$ de $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) - 4 \sqrt{2} u + 2 = 0$

Factoriza $2$ de $- 4 \sqrt{2} u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u) + 2 = 0$

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u) + 2 (1) = 0$

Factoriza $2$ de $2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u)$ .

$2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u) + 2 (1) = 0$

Factoriza $2$ de $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u) + 2 (1)$ .

$2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$

Step 3

Divide cada término en $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Divide cada término en $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Simplifica el lado izquierdo.

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Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Divide $2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1$ por $1$ .

$2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1 = \frac{0}{2}$

Simplifica el lado derecho.

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Divide $0$ por $2$ .

$2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1 = 0$

Step 4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Step 5

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = - 2 \sqrt{2}$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 2 \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Step 6

Simplifica.

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Simplifica el numerador.

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Aplica la regla del producto a $- 2 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Cancela el factor común de $2$ .

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Cancela el factor común.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Reescribe la expresión.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Evalúa el exponente.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Multiplica $4$ por $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Multiplica $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8}}{2 \cdot 2}$

Resta $8$ de $8$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 2}$

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 2}$

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm 0}{2 \cdot 2}$

$2 \sqrt{2}$ plus or minus $0$ is $2 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Multiplica $2$ por $2$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{4}$

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

Cancela los factores comunes.

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Factoriza $2$ de $4$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Cancela el factor común.

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Reescribe la expresión.

$u = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 7

Sustituye $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 8

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Step 9

Simplifica el lado derecho.

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El valor exacto de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Step 10

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Step 11

Simplifica $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Combina fracciones.

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Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Simplifica el numerador.

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Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Resta $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Step 12

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Step 13

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$